题目

50/50单选题(分值2.0分,难度：易)lim_(xto1)(1)/(x)=()bigcircA.20bigcircB.10bigcircC.1bigcircD.30

50/50单选题(分值2.0分,难度：易) $\lim_{x\to1}\frac{1}{x}=$() $\bigcirc$A.20 $\bigcirc$B.10 $\bigcirc$C.1 $\bigcirc$D.30

题目解答

答案

这道题目要求我们求解当 $x$ 趋近于 1 时，函数 $\frac{1}{x}$ 的极限值。

解析

  1. 理解极限的概念：

    • 极限描述了当变量 $x$ 接近某个值时，函数 $f(x)$ 的行为。
    • 在这个问题中，我们需要求解当 $x$ 趋近于 1 时，$\frac{1}{x}$ 的值。

  2. 直接代入：

    • 当 $x$ 趋近于 1 时，我们可以直接将 $x = 1$ 代入函数 $\frac{1}{x}$ 中。
    • 计算 $\frac{1}{1} = 1$。

  3. 验证：

    • 为了确保结果的正确性，我们可以考虑 $x$ 从左边和右边趋近于 1 的情况。
    • 当 $x$ 从左边趋近于 1 时（即 $x \to 1^-$），$\frac{1}{x}$ 仍然趋近于 1。
    • 当 $x$ 从右边趋近于 1 时（即 $x \to 1^+$），$\frac{1}{x}$ 仍然趋近于 1。
    • 因此，无论从哪个方向趋近，$\frac{1}{x}$ 的极限值都是 1。

答案

根据上述分析，当 $x$ 趋近于 1 时，$\frac{1}{x}$ 的极限值为 1。

因此，正确答案是 $\boxed{C.1}$。

解析

考查要点：本题主要考查极限的基本概念，特别是当自变量趋近于某一点时，函数值的变化趋势。
解题核心：对于形如$\lim_{x \to a} f(x)$的极限问题，若函数$f(x)$在$x = a$处连续，则可以直接将$a$代入函数求值。
关键点：判断函数$\frac{1}{x}$在$x=1$处是否连续，进而直接代入计算。

步骤1：判断函数连续性

函数$\frac{1}{x}$在$x=1$处有定义，且分母不为零，因此该函数在$x=1$处连续。

步骤2：直接代入求值

根据连续性，极限值等于函数在该点的函数值：
$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1.$

步骤3：验证左右极限

  • 左极限：当$x$从左侧趋近于1时，$\frac{1}{x} \to 1$。
  • 右极限：当$x$从右侧趋近于1时，$\frac{1}{x} \to 1$。
    左右极限相等，进一步确认极限值为1。