题目
设有向曲面= (x,y,z)|{x)^2+(y)^2+(z)^2=(a)^2,zgeqslant 0} ，方回取上侧，则下述曲面积分不为零的是 ( ) . ( A ) = (x,y,z)|{x)^2+(y)^2+(z)^2=(a)^2,zgeqslant 0} ( B ) = (x,y,z)|{x)^2+(y)^2+(z)^2=(a)^2,zgeqslant 0} ( C ) = (x,y,z)|{x)^2+(y)^2+(z)^2=(a)^2,zgeqslant 0} ( D ) = (x,y,z)|{x)^2+(y)^2+(z)^2=(a)^2,zgeqslant 0}
设有向曲面
，方回取上侧，则下述曲面积分不为零的是 ( ) .
( A ) 
( B ) 
( C ) 
( D ) 
题目解答
答案
依题知，
曲面，如下图所示：
对于A选项，曲面投影到
坐标面为
，曲面
的法向量为上侧，曲面位于
轴正向法向量与轴正半轴成锐角，取
，位于轴负向法向量与轴正半轴成钝角，取“
”，因此，分为两部分计算积分，正负号刚好抵消，积分为零，A选项错误；
对于B选项，曲面投影到
坐标面为
，曲面的法向量为上侧，曲面位于
轴正向法向量与轴正半轴成锐角，取，位于轴负向法向量与轴正半轴成钝角，取“”，因此，分为两部分计算积分，正负号刚好抵消，积分为零，B选项错误；
对于C选项，曲面投影到
坐标面为
，曲面的法向量为上侧，曲面法向量与
轴成锐角，取，且被积函数不为零，因此，积分不为零，C选项正确；
对于D选项，曲面投影到坐标面为，曲面的法向量为上侧，曲面位于轴正向法向量与轴正半轴成锐角，取，位于轴负向法向量与轴正半轴成钝角，取“”，因此，分为两部分计算积分，正负号刚好抵消，积分为零，D选项错误。
综上，本题选择C。
解析
步骤 1：分析曲面$Z=\{ (x,y,z)|{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2},z\geqslant 0\}$
曲面$Z$是一个半径为$a$的上半球面，取上侧，即法向量指向球面的外部。
步骤 2：分析选项A
曲面投影到$Oyz$坐标面为${y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2},z\geqslant 0$，曲面的法向量为上侧，曲面位于$x$轴正向法向量与$x$轴正半轴成锐角，取"+，位于$x$轴负向法向量与$x$轴正半轴成钝角，取“”，因此，分为两部分计算积分，正负号刚好抵消，积分为零，A选项错误。
步骤 3：分析选项B
曲面投影到$Oxz$坐标面为${x}^{2}+{z}^{2}={a}^{2},z\geqslant 0$，曲面的法向量为上侧，曲面位于$y$轴正向法向量与$y$轴正半轴成锐角，取"+，位于$y$轴负向法向量与$y$轴正半轴成钝角，取“”，因此，分为两部分计算积分，正负号刚好抵消，积分为零，B选项错误。
步骤 4：分析选项C
曲面投影到$Oxy$坐标面为${x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$，曲面的法向量为上侧，曲面法向量与$z$轴成锐角，取"+，且被积函数不为零，因此，积分不为零，C选项正确。
步骤 5：分析选项D
曲面投影到$Oyz$坐标面为${y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2},z\geqslant 0$，曲面的法向量为上侧，曲面位于$x$轴正向法向量与$x$轴正半轴成锐角，取"+，位于$x$轴负向法向量与$x$轴正半轴成钝角，取“”，因此，分为两部分计算积分，正负号刚好抵消，积分为零，D选项错误。
曲面$Z$是一个半径为$a$的上半球面，取上侧，即法向量指向球面的外部。
步骤 2：分析选项A
曲面投影到$Oyz$坐标面为${y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2},z\geqslant 0$，曲面的法向量为上侧，曲面位于$x$轴正向法向量与$x$轴正半轴成锐角，取"+，位于$x$轴负向法向量与$x$轴正半轴成钝角，取“”，因此，分为两部分计算积分，正负号刚好抵消，积分为零，A选项错误。
步骤 3：分析选项B
曲面投影到$Oxz$坐标面为${x}^{2}+{z}^{2}={a}^{2},z\geqslant 0$，曲面的法向量为上侧，曲面位于$y$轴正向法向量与$y$轴正半轴成锐角，取"+，位于$y$轴负向法向量与$y$轴正半轴成钝角，取“”，因此，分为两部分计算积分，正负号刚好抵消，积分为零，B选项错误。
步骤 4：分析选项C
曲面投影到$Oxy$坐标面为${x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$，曲面的法向量为上侧，曲面法向量与$z$轴成锐角，取"+，且被积函数不为零，因此，积分不为零，C选项正确。
步骤 5：分析选项D
曲面投影到$Oyz$坐标面为${y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2},z\geqslant 0$，曲面的法向量为上侧，曲面位于$x$轴正向法向量与$x$轴正半轴成锐角，取"+，位于$x$轴负向法向量与$x$轴正半轴成钝角，取“”，因此，分为两部分计算积分，正负号刚好抵消，积分为零，D选项错误。