3、对目标进行射击，每次击发一颗子弹，直至击中n次为止，设各次射击相互独立，且每次射击时击中目标的概率为p，试求子弹的消耗量X的数学期望和方差。(提示：先考虑每次击中目标所消耗的子弹分布)

为了求解子弹的消耗量 $X$ 的数学期望和方差，我们首先需要理解 $X$ 的分布。题目中提到，射击直至击中 $n$ 次为止，每次射击击中目标的概率为 $p$，且各次射击相互独立。这表明 $X$ 是一个负二项分布的随机变量，具体来说，是击中 $n$ 次成功所需的试验次数。 ### 数学期望 负二项分布的随机变量 $X$，表示在每次试验成功概率为 $p$ 的情况下，获得 $n$ 次成功所需的试验次数，其数学期望 $E(X)$ 为： \[ E(X) = \frac{n}{p} \] ### 方差 负二项分布的随机变量 $X$ 的方差 $D(X)$ 为： \[ D(X) = \frac{n(1-p)}{p^2} \] ### 证明 #### 数学期望 考虑 $X$ 为击中 $n$ 次成功所需的试验次数，可以将 $X$ 分解为 $n$ 个独立的几何分布随机变量之和，即 $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$，其中 $X_i$ 是第 $i-1$ 次成功后到第 $i$ 次成功所需的试验次数。每个 $X_i$ 都是参数为 $p$ 的几何分布随机变量，其数学期望为： \[ E(X_i) = \frac{1}{p} \] 由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 相互独立，因此 $X$ 的数学期望为： \[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n) = n \cdot \frac{1}{p} = \frac{n}{p} \] #### 方差 同样，由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 相互独立，因此 $X$ 的方差为： \[ D(X) = D(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = D(X_1) + D(X_2) + \cdots + D(X_n) \] 每个 $X_i$ 的方差为： \[ D(X_i) = \frac{1-p}{p^2} \] 因此 $X$ 的方差为： \[ D(X) = n \cdot \frac{1-p}{p^2} = \frac{n(1-p)}{p^2} \] ### 最终答案 子弹的消耗量 $X$ 的数学期望和方差分别为： \[ \boxed{\frac{n}{p}} \quad \text{和} \quad \boxed{\frac{n(1-p)}{p^2}} \]