五、(6分)设f(x)在[a,b]上连续 (agt 0), 在(a,b)内可导,证明:在(a,b)内必存在-|||-ξ,n,使得-|||-'(xi )=dfrac (a+b)(2n)f'(n).

本题主要考查拉格朗日中值定理和柯西中值定理的应用。解题的关键思路是通过对函数$f(x)$使用拉格朗日中值定理，以及对函数$f(x)$和$g(x)=x^2$使用柯西中值定理，逐步推导得出要证明的等式。

1. 对$f(x)$在$[a,b]$上应用拉格朗日中值定理：
   • 拉格朗日中值定理的内容为：若函数$y = f(x)$满足在闭区间$[m,n]$上连续，在开区间$(m,n)$内可导，则在$(m,n)$内至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)=\frac{f(n)-f(m)}{n - m}$。
   • 已知$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，$a\gt0$，将$m = a$，$n = b$代入拉格朗日中值定理公式，可得存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b - a}$。
   • 要证明$f'(\xi)=\frac{a + b}{2n}f'(n)$，即证明$\frac{f'(\xi)}{a + b}=\frac{f'(n)}{2n}$，将$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b - a}$代入，就只需要证明$\frac{f(b)-f(a)}{(b - a)(a + b)}=\frac{f'(n)}{2n}$。
   • 根据平方差公式$(b - a)(a + b)=b^2 - a^2$，所以只需证明$\frac{f(b)-f(a)}{b^2 - a^2}=\frac{f'(n)}{2n}$成立。
2. 对$f(x)$和$g(x)=x^2$在$[a,b]$上应用柯西中值定理：
   • 柯西中值定理的内容为：若函数$f(x)$和$g(x)$满足在闭区间$[m,n]$上连续，在开区间$(m,n)$内可导，且$g'(x)\neq0$，则在$(m,n)$内至少存在一点$\eta$，使得$\frac{f(n)-f(m)}{g(n)-g(m)}=\frac{f'(\eta)}{g'(\eta)}$。
   • 对于$f(x)$和$g(x)=x^2$，$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导；$g(x)=x^2$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$g'(x)=2x$，当$x\in(a,b)$，$a\gt0$时，$g'(x)=2x\neq0$。
   • 将$m = a$，$n = b$代入柯西中值定理公式，可得至少存在一点$n\in(a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(n)}{g'(n)}$。
   • 因为$g(b)=b^2$，$g(a)=a^2$，$g'(n)=2n$，所以$\frac{f(b)-f(a)}{b^2 - a^2}=\frac{f'(n)}{2n}$。
   • 结合前面的推导，就证明了在$(a,b)$内必存在$\xi$，$n$，使得$f'(\xi)=\frac{a + b}{2n}f'(n)$。