题目
(3)已知矩阵A= (} 4& 2& 3 1& 1& 0 -1& 2& 3 ) . 设 =A+2X, 求X.
题目解答
答案
解析
步骤 1：将方程 AX = A + 2X 转换为标准形式
给定方程 AX = A + 2X 可以转换为 AX - 2X = A，即 (A - 2E)X = A，其中 E 是单位矩阵。
步骤 2：计算矩阵 A - 2E
根据给定的矩阵 A，计算 A - 2E，其中 2E 是将单位矩阵 E 的每个元素乘以 2。
\[ A - 2E = \left (\begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{matrix} ) \right. - 2\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 2& 2& 3\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 1\end{matrix} ) \right. \]
步骤 3：求解矩阵 (A - 2E) 的逆矩阵
为了求解 X，我们需要找到矩阵 (A - 2E) 的逆矩阵，然后用它乘以 A。
\[ (A - 2E)^{-1} = \left (\begin{matrix} 2& 2& 3\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 1\end{matrix} ) \right. ^{-1} \]
步骤 4：计算 X
\[ X = (A - 2E)^{-1}A \]
步骤 5：计算逆矩阵 (A - 2E)^{-1}
\[ (A - 2E)^{-1} = \left (\begin{matrix} 1& -4& -3\\ 1& -5& -3\\ -1& 6& 4\end{matrix} ) \right. \]
步骤 6：计算 X
\[ X = \left (\begin{matrix} 1& -4& -3\\ 1& -5& -3\\ -1& 6& 4\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} -8& -6& -6\\ -12& -12& -12\\ 12& 12& 12\end{matrix} ) \right. \]
给定方程 AX = A + 2X 可以转换为 AX - 2X = A，即 (A - 2E)X = A，其中 E 是单位矩阵。
步骤 2：计算矩阵 A - 2E
根据给定的矩阵 A，计算 A - 2E，其中 2E 是将单位矩阵 E 的每个元素乘以 2。
\[ A - 2E = \left (\begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{matrix} ) \right. - 2\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 2& 2& 3\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 1\end{matrix} ) \right. \]
步骤 3：求解矩阵 (A - 2E) 的逆矩阵
为了求解 X，我们需要找到矩阵 (A - 2E) 的逆矩阵，然后用它乘以 A。
\[ (A - 2E)^{-1} = \left (\begin{matrix} 2& 2& 3\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 1\end{matrix} ) \right. ^{-1} \]
步骤 4：计算 X
\[ X = (A - 2E)^{-1}A \]
步骤 5：计算逆矩阵 (A - 2E)^{-1}
\[ (A - 2E)^{-1} = \left (\begin{matrix} 1& -4& -3\\ 1& -5& -3\\ -1& 6& 4\end{matrix} ) \right. \]
步骤 6：计算 X
\[ X = \left (\begin{matrix} 1& -4& -3\\ 1& -5& -3\\ -1& 6& 4\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} -8& -6& -6\\ -12& -12& -12\\ 12& 12& 12\end{matrix} ) \right. \]