题目

二、判断题（共16小题，共16分）3. F(x)=}0,x<0,x+(1)/(2),0le x<(1)/(2),1,xge(1)/(2).是分布函数（分数：1分）正确 错误

二、判断题（共16小题，共16分） 3. $F(x)=\begin{cases}0,x<0,\\x+\frac{1}{2},0\le x<\frac{1}{2},\\1,x\ge\frac{1}{2}.\end{cases}$是分布函数（分数：1分） 正确 错误

题目解答

答案

**答案：正确** **解析：** 1. **非递减性**： - 当 $x < 0$ 时，$F(x) = 0$，恒定。 - 当 $0 \le x < \frac{1}{2}$ 时，$F(x) = x + \frac{1}{2}$，斜率为正，递增。 - 当 $x \ge \frac{1}{2}$ 时，$F(x) = 1$，恒定。 整个函数非递减。 2. **极限条件**： - $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，满足。 - $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$，满足。 3. **右连续性**： - 在 $x = 0$ 处，$F(0^+) = \frac{1}{2} = F(0)$。 - 在 $x = \frac{1}{2}$ 处，$F\left(\frac{1}{2}^+\right) = 1 = F\left(\frac{1}{2}\right)$。 其他点连续。 满足分布函数所有条件，故答案为正确。

解析

分布函数需要满足三个条件：

  1. 非递减性：函数整体不减；
  2. 极限条件：当$x \to -\infty$时极限为$0$，当$x \to +\infty$时极限为$1$；
  3. 右连续性：所有点右极限等于函数值。

本题需验证给定分段函数是否满足上述条件。

1. 非递减性

  • 当$x < 0$时：$F(x) = 0$，恒定；
  • 当$0 \le x < \frac{1}{2}$时：$F(x) = x + \frac{1}{2}$，斜率为$1 > 0$，严格递增；
  • 当$x \ge \frac{1}{2}$时：$F(x) = 1$，恒定。

结论：函数整体非递减。

2. 极限条件

  • 当$x \to -\infty$时：$F(x) = 0$，满足$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$；
  • 当$x \to +\infty$时：$F(x) = 1$，满足$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$。

结论：极限条件成立。

3. 右连续性

  • 在$x = 0$处：右极限$F(0^+) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，等于$F(0) = \frac{1}{2}$；
  • 在$x = \frac{1}{2}$处：右极限$F\left(\frac{1}{2}^+\right) = 1$，等于$F\left(\frac{1}{2}\right) = 1$；
  • 其他点：函数连续。

结论：所有分段点均右连续。