25.（判断题，4.0分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)=}6x,&0le xle yle 1,0,&else，则X，Y不独立.A. 对B. 错

本题考查二维随机变量独立性的判断，解题思路是先分别求出随机变量 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度，然后判断 $f(x,y)$ 是否等于 $f_X(x)f_Y(y)$，若不相等则 $X$，$Y$ 不独立。

步骤一：求 $X$ 的边缘概率密度 $f_X(x)$

根据边缘概率密度的定义，$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$。
已知 $f(x,y)=\begin{cases}6x,&0\le x\le y\le 1\\0,&\text{else}\end{cases}$，当 $0\leq x\leq 1$ 时：
$f_X(x)=\int_{x}^{1}6xdy$
根据定积分的计算法则 $\int_{a}^{b}kdy=k(b - a)$（$k$ 为常数），这里 $k = 6x$，$a = x$，$b = 1$，则：
$f_X(x)=6x\int_{x}^{1}dy=6x(1 - x)=6x - 6x^2$
当 $x\lt 0$ 或 $x\gt 1$ 时，$f(x,y)=0$，所以 $f_X(x)=0$。
综上，$f_X(x)=\begin{cases}6x - 6x^2,&0\leq x\leq 1\\0,&\text{else}\end{cases}$。

步骤二：求 $Y$ 的边缘概率密度 $f_Y(y)$

根据边缘概率密度的定义，$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$。
当 $0\leq y\leq 1$ 时：
$f_Y(y)=\int_{0}^{y}6xdx$
根据定积分的计算法则 $\int_{a}^{b}x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}\big|_{a}^{b}$（$n\neq -1$），这里 $n = 1$，$a = 0$，$b = y$，则：
$f_Y(y)=6\times\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{y}=3y^2$
当 $y\lt 0$ 或 $y\gt 1$ 时，$f(x,y)=0$，所以 $f_Y(y)=0$。
综上，$f_Y(y)=\begin{cases}3y^2,&0\leq y\leq 1\\0,&\text{else}\end{cases}$。

步骤三：判断 $X$，$Y$ 是否独立

若 $X$，$Y$ 独立，则 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。
取 $x = \frac{1}{2}$，$y=\frac{3}{4}$，此时 $f(\frac{1}{2},\frac{3}{4}) = 6\times\frac{1}{2}=3$。
$f_X(\frac{1}{2})=6\times\frac{1}{2}-6\times(\frac{1}{2})^2=3 - \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$，$f_Y(\frac{3}{4})=3\times(\frac{3}{4})^2=\frac{27}{16}$。
$f_X(\frac{1}{2})f_Y(\frac{3}{4})=\frac{3}{2}\times\frac{27}{16}=\frac{81}{32}\neq f(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$。
所以 $X$，$Y$ 不独立，该判断题说法正确。