题目
元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷n次（n≥2且n∈N）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖；游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得1分，未命中记得-1分，当累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到-3分，游戏立即结束，无法获奖．现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为(1)/(3)；乙同学参加游戏二，每次命中率为p（0＜p＜1）．（1）当n=4时，记甲同学投掷次数为X，求X的分布列及期望；（2）当n=k（k≥2且k∈N）时，求甲同学获奖的概率（用含k的表达式表示）；（3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为p0；若乙同学获奖概率不小于p0，求p的最小值．
元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：
游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷n次（n≥2且n∈N）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得1分，未命中记得-1分，当累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到-3分，游戏立即结束，无法获奖．
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为$\frac{1}{3}$；乙同学参加游戏二，每次命中率为p（0＜p＜1）．
（1）当n=4时，记甲同学投掷次数为X，求X的分布列及期望；
（2）当n=k（k≥2且k∈N）时，求甲同学获奖的概率（用含k的表达式表示）；
（3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为p0；若乙同学获奖概率不小于p0，求p的最小值．
游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷n次（n≥2且n∈N）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得1分，未命中记得-1分，当累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到-3分，游戏立即结束，无法获奖．
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为$\frac{1}{3}$；乙同学参加游戏二，每次命中率为p（0＜p＜1）．
（1）当n=4时，记甲同学投掷次数为X，求X的分布列及期望；
（2）当n=k（k≥2且k∈N）时，求甲同学获奖的概率（用含k的表达式表示）；
（3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为p0；若乙同学获奖概率不小于p0，求p的最小值．
题目解答
答案
解：（1）由题可知：X的取值可能为2，3，4，
$P（X=2）=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，
$P（X=3）=C_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，
$P（X=4）=1-\frac{3}{27}-\frac{4}{27}=\frac{20}{27}$，
故X的分布列为：
所以$E（X）=\frac{1}{9}×2+\frac{4}{27}×3+\frac{20}{27}×4=\frac{98}{27}$；
（2）记事件A：甲同学获奖，显然，k≥2，
设Y表示甲投掷的次数，若甲投掷i（2≤i≤k）次并获奖，
则$P（Y=i）=C_{i-1}^{1}（\frac{2}{3}）^{i-2}（\frac{1}{3}）^{2}=\frac{1}{4}（i-1）（\frac{2}{3}）^{i}$，
所以$\sum\limits _{i=2}^{k}P（Y=i）=\frac{1}{4}[（\frac{2}{3}）^{2}+2（\frac{2}{3}）^{3}+⋯+（k-1）（\frac{2}{3}）^{k}]$，
令$S=（\frac{2}{3}）^{2}+2（\frac{2}{3}）^{3}+⋯+（k-1）（\frac{2}{3}）^{k}$，
所以$\frac{2}{3}S=（\frac{2}{3}）^{3}+2（\frac{2}{3}）^{4}+⋯+（k-1）（\frac{2}{3}）^{k+1}$，
两式相减：$\frac{1}{3}S=（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{3}+⋯+（\frac{2}{3}）^{k}-（k-1）（\frac{2}{3}）^{k+1}$，$\frac{1}{3}S=\frac{\frac{4}{9}[1-（\frac{2}{3}）^{k-1}]}{1-\frac{2}{3}}-（k-1）（\frac{2}{3}）^{k+1}$
=$\frac{4}{3}-\frac{4}{3}（\frac{2}{3}）^{k-1}-（k-1）（\frac{2}{3}）^{k+1}$，
即$S=4-\frac{4（k+2）}{3}（\frac{2}{3}）^{k-1}$，
所以$P（A）=\frac{1}{4}S=1-\frac{k+2}{3}•（\frac{2}{3}）^{k-1}$；
（3）记Z表示乙同学的得分，Z=-3，-2，-1，0，1，2，3，
记事件B：乙同学获奖，P（Z=k）表示乙同学得分为k分时，最终获奖的概率，
显然P（B）=P（Z=0），又P（Z=3）=1，P（Z=-3）=0，
由全概率公式知：P（Z=k）=p•P（Z=k+1）+（1-p）•P（Z=k-1），k=-2，-1，0，1，2，
所以P（Z=k+1）-P（Z=k）=（p-1）[P（Z=k）-P（Z=k-1）]，
那么P（Z=3）-P（Z=2）=（b-1）[P（Z=2）-P（Z=1]=（b-1）[P（Z=1）-P（Z=0）]
=$⋯=（\frac{1}{P}-1）^{5}[P（Z=-2）-P（Z=-3）]=（\frac{1}{P}-1）^{5}•P（Z=-2）$，
即P（Z=$3）-P（Z=2）=（\frac{1}{p}-1）^{5}•P（Z=-2）$，
同理：$P（Z=2）-P（Z=1）=（\frac{1}{P}-1）^{4}•P（Z=-2）$，$P（Z=1）-P（Z=0）=（\frac{1}{p}-1）^{3}•P（Z=-2）$，
$P（Z=0）-P（Z=-1）=（\frac{1}{p}-1）^{2}•P（Z=-2）$，
$P（Z=-1）-P（Z=-2）=（\frac{1}{p}-1）P（Z=-2）$，
累加得$P（Z=3）=[1+（\frac{1}{p}-1）+（\frac{1}{p}-1）^{2}+...+（\frac{1}{p}-1）^{5}]$•P（Z=-2），
所以$P（Z=3）=[1+（\frac{1}{P}-1）+（\frac{1}{P}-1）^{2}+⋯+（\frac{1}{P}-1）^{5}]$•P（Z=-2），
即$P（Z=3）=\frac{1-（\frac{1}{p}-1）^{6}}{1-（\frac{1}{p}-1）}$•P（Z=-2）=1，即$P（Z=-2）=\frac{2-\frac{1}{p}}{1-（\frac{1}{p}-1）^{6}}$，
即$P（B）=P（Z=0）=[1+（\frac{1}{P}-1）+（\frac{1}{P}-1）^{2}]•P（Z=-2）=\frac{1}{1+（\frac{1}{P}-1）^{3}}$，
由甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为p0得：$p_{0}=1-\frac{4+2}{3}×（\frac{2}{3}）^{3}=\frac{11}{27}$，
由P（B）≥P0，即$\frac{1}{1+（\frac{1}{p}-1）^{3}}≥\frac{11}{27}$，解得$p≥\frac{1}{2\root{3}{\frac{2}{11}}+1}$，
故P的最小值为$\frac{1}{2\root{3}{\frac{2}{11}+1}}$．
$P（X=2）=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，
$P（X=3）=C_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，
$P（X=4）=1-\frac{3}{27}-\frac{4}{27}=\frac{20}{27}$，
故X的分布列为：
| X | 2 | 3 | 4 |
| P |
$\frac{1}{9}$ |
$\frac{4}{27}$ |
$\frac{20}{27}$ |
（2）记事件A：甲同学获奖，显然，k≥2，
设Y表示甲投掷的次数，若甲投掷i（2≤i≤k）次并获奖，
则$P（Y=i）=C_{i-1}^{1}（\frac{2}{3}）^{i-2}（\frac{1}{3}）^{2}=\frac{1}{4}（i-1）（\frac{2}{3}）^{i}$，
所以$\sum\limits _{i=2}^{k}P（Y=i）=\frac{1}{4}[（\frac{2}{3}）^{2}+2（\frac{2}{3}）^{3}+⋯+（k-1）（\frac{2}{3}）^{k}]$，
令$S=（\frac{2}{3}）^{2}+2（\frac{2}{3}）^{3}+⋯+（k-1）（\frac{2}{3}）^{k}$，
所以$\frac{2}{3}S=（\frac{2}{3}）^{3}+2（\frac{2}{3}）^{4}+⋯+（k-1）（\frac{2}{3}）^{k+1}$，
两式相减：$\frac{1}{3}S=（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{3}+⋯+（\frac{2}{3}）^{k}-（k-1）（\frac{2}{3}）^{k+1}$，$\frac{1}{3}S=\frac{\frac{4}{9}[1-（\frac{2}{3}）^{k-1}]}{1-\frac{2}{3}}-（k-1）（\frac{2}{3}）^{k+1}$
=$\frac{4}{3}-\frac{4}{3}（\frac{2}{3}）^{k-1}-（k-1）（\frac{2}{3}）^{k+1}$，
即$S=4-\frac{4（k+2）}{3}（\frac{2}{3}）^{k-1}$，
所以$P（A）=\frac{1}{4}S=1-\frac{k+2}{3}•（\frac{2}{3}）^{k-1}$；
（3）记Z表示乙同学的得分，Z=-3，-2，-1，0，1，2，3，
记事件B：乙同学获奖，P（Z=k）表示乙同学得分为k分时，最终获奖的概率，
显然P（B）=P（Z=0），又P（Z=3）=1，P（Z=-3）=0，
由全概率公式知：P（Z=k）=p•P（Z=k+1）+（1-p）•P（Z=k-1），k=-2，-1，0，1，2，
所以P（Z=k+1）-P（Z=k）=（p-1）[P（Z=k）-P（Z=k-1）]，
那么P（Z=3）-P（Z=2）=（b-1）[P（Z=2）-P（Z=1]=（b-1）[P（Z=1）-P（Z=0）]
=$⋯=（\frac{1}{P}-1）^{5}[P（Z=-2）-P（Z=-3）]=（\frac{1}{P}-1）^{5}•P（Z=-2）$，
即P（Z=$3）-P（Z=2）=（\frac{1}{p}-1）^{5}•P（Z=-2）$，
同理：$P（Z=2）-P（Z=1）=（\frac{1}{P}-1）^{4}•P（Z=-2）$，$P（Z=1）-P（Z=0）=（\frac{1}{p}-1）^{3}•P（Z=-2）$，
$P（Z=0）-P（Z=-1）=（\frac{1}{p}-1）^{2}•P（Z=-2）$，
$P（Z=-1）-P（Z=-2）=（\frac{1}{p}-1）P（Z=-2）$，
累加得$P（Z=3）=[1+（\frac{1}{p}-1）+（\frac{1}{p}-1）^{2}+...+（\frac{1}{p}-1）^{5}]$•P（Z=-2），
所以$P（Z=3）=[1+（\frac{1}{P}-1）+（\frac{1}{P}-1）^{2}+⋯+（\frac{1}{P}-1）^{5}]$•P（Z=-2），
即$P（Z=3）=\frac{1-（\frac{1}{p}-1）^{6}}{1-（\frac{1}{p}-1）}$•P（Z=-2）=1，即$P（Z=-2）=\frac{2-\frac{1}{p}}{1-（\frac{1}{p}-1）^{6}}$，
即$P（B）=P（Z=0）=[1+（\frac{1}{P}-1）+（\frac{1}{P}-1）^{2}]•P（Z=-2）=\frac{1}{1+（\frac{1}{P}-1）^{3}}$，
由甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为p0得：$p_{0}=1-\frac{4+2}{3}×（\frac{2}{3}）^{3}=\frac{11}{27}$，
由P（B）≥P0，即$\frac{1}{1+（\frac{1}{p}-1）^{3}}≥\frac{11}{27}$，解得$p≥\frac{1}{2\root{3}{\frac{2}{11}}+1}$，
故P的最小值为$\frac{1}{2\root{3}{\frac{2}{11}+1}}$．