题目
函数 u = x sin(yz) 在点 A(1,3,0) 处，沿方向 vec(l) = (1,2,-1) 的方向导数为 ()A. (1)/(2)B. -(sqrt(6))/(2)C. (sqrt(6))/(2)D. 0
函数 $u = x \sin(yz)$ 在点 $A(1,3,0)$ 处，沿方向 $\vec{l} = (1,2,-1)$ 的方向导数为 ()
A. $\frac{1}{2}$
B. $-\frac{\sqrt{6}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
D. $0$
题目解答
答案
B. $-\frac{\sqrt{6}}{2}$
解析
步骤 1：计算梯度
函数 $u = x \sin(yz)$ 的梯度 $\nabla u$ 为 $\left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)$。计算各分量的偏导数，得到 $\nabla u = \left( \sin(yz), xz\cos(yz), xy\cos(yz) \right)$。在点 $A(1,3,0)$ 处，代入坐标值，得到 $\nabla u = (0, 0, 3)$。
步骤 2：单位向量
给定方向 $\vec{l} = (1,2,-1)$，计算其模长 $\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$。单位向量 $\mathbf{v} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}} \right)$。
步骤 3：方向导数
方向导数 $D_{\mathbf{v}} u = \nabla u \cdot \mathbf{v} = (0,0,3) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}} \right) = -\frac{3}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$。
函数 $u = x \sin(yz)$ 的梯度 $\nabla u$ 为 $\left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)$。计算各分量的偏导数，得到 $\nabla u = \left( \sin(yz), xz\cos(yz), xy\cos(yz) \right)$。在点 $A(1,3,0)$ 处，代入坐标值，得到 $\nabla u = (0, 0, 3)$。
步骤 2：单位向量
给定方向 $\vec{l} = (1,2,-1)$，计算其模长 $\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$。单位向量 $\mathbf{v} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}} \right)$。
步骤 3：方向导数
方向导数 $D_{\mathbf{v}} u = \nabla u \cdot \mathbf{v} = (0,0,3) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}} \right) = -\frac{3}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$。