曲线=x(e)^dfrac (1{x)}的渐近线有=x(e)^dfrac (1{x)} 条=x(e)^dfrac (1{x)} 条=x(e)^dfrac (1{x)} 条 =x(e)^dfrac (1{x)} 条

考查要点：本题主要考查曲线渐近线的求解，包括垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线的判断。

解题核心思路：

1. 垂直渐近线：寻找函数在定义域边界处的极限是否趋向无穷大。
2. 水平渐近线：分析当$x \to \pm\infty$时函数值是否趋向某个常数。
3. 斜渐近线：若函数在$x \to \pm\infty$时趋向于一次函数形式$y = ax + b$，则需计算$a$和$b$的值。

破题关键点：

• 垂直渐近线：当$x \to 0^+$时，函数值趋向正无穷。
• 斜渐近线：当$x \to \pm\infty$时，函数可近似为$y = x + 1$。

垂直渐近线分析

当$x \to 0^+$时，$\dfrac{1}{x} \to +\infty$，因此：
$\lim_{x \to 0^+} x e^{\dfrac{1}{x}} = \lim_{t \to +\infty} \dfrac{e^t}{t} = +\infty$
（此处通过变量代换$t = \dfrac{1}{x}$，应用洛必达法则可得。）
因此，垂直渐近线为$x = 0$。

水平渐近线分析

当$x \to \pm\infty$时，$\dfrac{1}{x} \to 0$，故：
$\lim_{x \to \pm\infty} e^{\dfrac{1}{x}} = e^0 = 1$
此时函数值趋向于$x \cdot 1 = x$，即趋向于正无穷或负无穷，不存在水平渐近线。

斜渐近线分析

当$x \to \pm\infty$时，计算斜渐近线的斜率$a$和截距$b$：

1. 斜率$a$：
   $a = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} e^{\dfrac{1}{x}} = 1$
2. 截距$b$：
   $b = \lim_{x \to \pm\infty} \left( y - a x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( x e^{\dfrac{1}{x}} - x \right)$
   利用泰勒展开$e^{\dfrac{1}{x}} \approx 1 + \dfrac{1}{x}$，得：
   $x \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) - x = 1$
   因此，斜渐近线为$y = x + 1$。