设 f(x) 在 (a,b) 上连续，a < x_1 < x_2 < b，求证存在 xi in (a,b)，使 5f(xi) = 2f(x_1) + 3f(x_2).

设 $ k = \frac{2f(x_1) + 3f(x_2)}{5} $，则 $ k $ 为 $ f(x_1) $ 和 $ f(x_2) $ 的加权平均值。
由于 $ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上连续，且 $ [x_1, x_2] \subset (a, b) $，根据连续函数的介值定理，$ f(x) $ 在 $ [x_1, x_2] $ 上能取到任意介于 $ f(x_1) $ 和 $ f(x_2) $ 之间的值。
而 $ k $ 满足 $ \min\{f(x_1), f(x_2)\} \leq k \leq \max\{f(x_1), f(x_2)\} $，故存在 $ \xi \in [x_1, x_2] \subset (a, b) $，使得 $ f(\xi) = k $。
即 $ 5f(\xi) = 2f(x_1) + 3f(x_2) $。

结论： 存在 $ \xi \in (a, b) $，满足 $ 5f(\xi) = 2f(x_1) + 3f(x_2) $。
$\boxed{\text{存在 } \xi \in (a, b), \text{ 使 } 5f(\xi) = 2f(x_1) + 3f(x_2)}$