下列函数的展开成 x 的幂级数，错误的是(）A. arctan (1-x)/(1+x) = (pi)/(4) + sum_(n=0)^infty (-1)^n+1 (x^2n+1)/(2n+1), x in (-1,1]；B. cos^2 x = (1)/(2) sum_(n=0)^infty (-1)^n (4^n)/((2n)!) x^2n, -infty C. e^4x = sum_(n=0)^infty (4^n)/(n!) x^n, -infty D. (1)/(2+3x) = sum_(n=0)^infty ((-1)^n 3^n)/(2^n+1) x^n, -(2)/(3)

本题主要考查常见函数展开成 $x$ 的幂级数的知识以及幂级数收敛域的判断。解题思路是分别对每个选项中的函数展开式及收敛域进行分析，判断其正确性。

选项A

已知$\arctan\frac{1 - x}{1 + x}$，我们先对其求导：
根据求导公式$(\arctan u)^\prime=\frac{u^\prime}{1 + u^2}$，令$u = \frac{1 - x}{1 + x}$，则$u^\prime=\frac{(1 - x)^\prime(1 + x)-(1 - x)(1 + x)^\prime}{(1 + x)^2}=\frac{-1\times(1 + x)-(1 - x)\times1}{(1 + x)^2}=\frac{-1 - x - 1 + x}{(1 + x)^2}=-\frac{2}{(1 + x)^2}$。
所以$(\arctan\frac{1 - x}{1 + x})^\prime=\frac{-\frac{2}{(1 + x)^2}}{1 + (\frac{1 - x}{1 + x})^2}=\frac{-\frac{2}{(1 + x)^2}}{\frac{(1 + x)^2+(1 - x)^2}{(1 + x)^2}}=\frac{-2}{(1 + x)^2+(1 - x)^2}=\frac{-2}{1 + 2x + x^2 + 1 - 2x + x^2}=\frac{-2}{2 + 2x^2}=-\frac{1}{1 + x^2}$。
又因为$\frac{1}{1 + t}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n t^n$，$|t|\lt1$，令$t = x^2$，则$\frac{1}{1 + x^2}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}$，$|x|\lt1$。
所以$(\arctan\frac{1 - x}{1 + x})^\prime=-\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}$，$|x|\lt1$。
对其两边积分可得$\arctan\frac{1 - x}{1 + x}=\int (-\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n x^{2n})dx=-\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\int x^{2n}dx=-\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n + 1}}{2n + 1}+C=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n + 1}\frac{x^{2n + 1}}{2n + 1}+C$。
当$x = 0$时，$\arctan\frac{1 - 0}{1 + 0}=\arctan1=\frac{\pi}{4}$，代入上式可得$\frac{\pi}{4}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n + 1}\frac{0^{2n + 1}}{2n + 1}+C$，解得$C = \frac{\pi}{4}$。
所以$\arctan\frac{1 - x}{1 + x}=\frac{\pi}{4}+\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n + 1}\frac{x^{2n + 1}}{2n + 1}$。
接下来求收敛域，当$x = -1$时，$\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n + 1}\frac{(-1)^{2n + 1}}{2n + 1}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{2n + 1}$，这是一个发散的级数；当$x = 1$时，$\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n + 1}\frac{1^{2n + 1}}{2n + 1}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n + 1}\frac{1}{2n + 1}$，这是一个收敛的交错级数。
所以收敛域为$(-1,1]$，但实际上$\arctan\frac{1 - x}{1 + x}$在$x = -1$处有定义，其收敛域应该是$[-1,1]$，故选项A错误。

选项B

根据三角函数的二倍角公式$\cos^2x=\frac{1 + \cos2x}{2}$。
又因为$\cos t=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}$，$-\infty\lt t\lt+\infty$，令$t = 2x$，则$\cos2x=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{4^n}{(2n)!}x^{2n}$，$-\infty\lt x\lt+\infty$。
所以$\cos^2x=\frac{1}{2}(1+\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{4^n}{(2n)!}x^{2n})=\frac{1}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{4^n}{(2n)!}x^{2n}$，$-\infty\lt x\lt+\infty$，选项B正确。

选项C

已知$e^t=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}$，$-\infty\lt t\lt+\infty$，令$t = 4x$，则$e^{4x}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(4x)^n}{n!}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{4^n}{n!}x^n$，$-\infty\lt x\lt+\infty$，选项C正确。

选项D

将$\frac{1}{2 + 3x}$变形为$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{3}{2}x}$。
因为$\frac{1}{1 + t}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n t^n$，$|t|\lt1$，令$t=\frac{3}{2}x$，则$\frac{1}{1+\frac{3}{2}x}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n(\frac{3}{2}x)^n=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{3^n}{2^n}x^n$，$|\frac{3}{2}x|\lt1$，即$|x|\lt\frac{2}{3}$。
所以$\frac{1}{2 + 3x}=\frac{1}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{3^n}{2^n}x^n=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^n3^n}{2^{n + 1}}x^n$，$-\frac{2}{3}\lt x\lt\frac{2}{3}$，选项D正确。