lim xcotx

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及三角函数的极限问题，需要灵活运用等价无穷小替换或洛必达法则。

解题核心思路：
将余切函数 $\cot x$ 转化为基本三角函数形式 $\frac{\cos x}{\sin x}$，再结合 $x \to 0$ 时的等价无穷小替换 $\sin x \sim x$，简化表达式后直接求极限。

破题关键点：

1. 正确拆分余切函数：$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$。
2. 利用等价无穷小：当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$\cos x \to 1$。
3. 化简后直接代入：通过替换和约分，消去导致未定式的零因子。

步骤 1：将余切函数拆分
原式可改写为：
$\lim_{x \to 0} x \cot x = \lim_{x \to 0} x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

步骤 2：应用等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，因此：
$\frac{\cos x}{\sin x} \sim \frac{\cos x}{x}$

步骤 3：代入并化简
将替换后的表达式代入原式：
$\lim_{x \to 0} x \cdot \frac{\cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \cos x$

步骤 4：直接求极限
由于 $\cos x$ 在 $x=0$ 处连续，直接代入得：
$\cos 0 = 1$