题目
向量组 (alpha )_(1)=([ 1,2,3,4] )^x , (alpha )_(2)=([ 2,3,4,5] )^2 , _(3)=([ 3,4,5,6] )^T,-|||-_(4)=([ 4,5,6,7] )^T 的秩为 __ _.
题目解答
答案
2
解析
步骤 1：构造矩阵
构造一个矩阵，其列向量为给定的向量组 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${a}_{3}$, ${a}_{4}$。矩阵如下：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 \\
4 & 5 & 6 & 7
\end{bmatrix}
$$
步骤 2：化简矩阵
对矩阵 $A$ 进行行变换，化简为行阶梯形矩阵。首先，我们可以通过行变换来消除第一列的元素，除了第一行的元素。我们可以通过以下行变换来实现：
$$
\begin{align*}
R_2 &\leftarrow R_2 - 2R_1 \\
R_3 &\leftarrow R_3 - 3R_1 \\
R_4 &\leftarrow R_4 - 4R_1
\end{align*}
$$
得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -1 & -2 & -3 \\
0 & -2 & -4 & -6 \\
0 & -3 & -6 & -9
\end{bmatrix}
$$
接下来，我们继续化简，消除第二列的元素，除了第二行的元素。我们可以通过以下行变换来实现：
$$
\begin{align*}
R_3 &\leftarrow R_3 - 2R_2 \\
R_4 &\leftarrow R_4 - 3R_2
\end{align*}
$$
得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -1 & -2 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
步骤 3：确定秩
矩阵的秩是行阶梯形矩阵中非零行的数量。在上面的行阶梯形矩阵中，有两行是非零行，因此矩阵的秩为2。
构造一个矩阵，其列向量为给定的向量组 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${a}_{3}$, ${a}_{4}$。矩阵如下：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 \\
4 & 5 & 6 & 7
\end{bmatrix}
$$
步骤 2：化简矩阵
对矩阵 $A$ 进行行变换，化简为行阶梯形矩阵。首先，我们可以通过行变换来消除第一列的元素，除了第一行的元素。我们可以通过以下行变换来实现：
$$
\begin{align*}
R_2 &\leftarrow R_2 - 2R_1 \\
R_3 &\leftarrow R_3 - 3R_1 \\
R_4 &\leftarrow R_4 - 4R_1
\end{align*}
$$
得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -1 & -2 & -3 \\
0 & -2 & -4 & -6 \\
0 & -3 & -6 & -9
\end{bmatrix}
$$
接下来，我们继续化简，消除第二列的元素，除了第二行的元素。我们可以通过以下行变换来实现：
$$
\begin{align*}
R_3 &\leftarrow R_3 - 2R_2 \\
R_4 &\leftarrow R_4 - 3R_2
\end{align*}
$$
得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -1 & -2 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
步骤 3：确定秩
矩阵的秩是行阶梯形矩阵中非零行的数量。在上面的行阶梯形矩阵中，有两行是非零行，因此矩阵的秩为2。