设a为有理数,x为无理数,证明：(1)a+x是无理数;(2)当a≠0时，ax是无理数。.

步骤 1：证明a+x是无理数
首先，假设a+x是有理数。根据有理数的定义，任何有理数都可以表示为两个整数的比值，即a+x=qp，其中p和q都是整数，且q≠0。
步骤 2：推导出x是有理数
由于a是有理数，可以表示为a=mn，其中m和n都是整数，且n≠0。将a的表达式代入a+x=qp中，得到mn+x=qp。通过移项，得到x=qp−mn。将qp−mn表示为一个分数，即x=(pq−mn)nn。由于pq−mn和nn都是整数，所以x是有理数。
步骤 3：得出矛盾
根据题目条件，x是无理数，而我们推导出x是有理数，这与题目条件矛盾。因此，假设a+x是有理数是错误的，所以a+x是无理数。
步骤 4：证明当a≠0时，ax是无理数
首先，假设ax是有理数。根据有理数的定义，任何有理数都可以表示为两个整数的比值，即ax=qp，其中p和q都是整数，且q≠0。
步骤 5：推导出x是有理数
由于a是有理数，可以表示为a=mn，其中m和n都是整数，且n≠0。将a的表达式代入ax=qp中，得到mnx=qp。通过移项，得到x=qp⋅nm。将qp⋅nm表示为一个分数，即x=(pq⋅nm)nn。由于pq⋅nm和nn都是整数，所以x是有理数。
步骤 6：得出矛盾
根据题目条件，x是无理数，而我们推导出x是有理数，这与题目条件矛盾。因此，假设ax是有理数是错误的，所以当a≠0时，ax是无理数。