题目

11.求极限lim_(xto0)(int_(0)^xsin t^2dt)/(sin xln(1+x^2))

11.求极限$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\sin t^{2}dt}{\sin x\ln(1+x^{2})}$

题目解答

答案

当 $x \to 0$ 时，分子 $\int_{0}^{x} \sin t^2 \, dt$ 可以使用等价无穷小替换 $\sin t^2 \sim t^2$，得到：
$\int_{0}^{x} t^2 \, dt = \frac{x^3}{3}.$
分母 $\sin x \ln(1+x^2)$ 中，$\sin x \sim x$，$\ln(1+x^2) \sim x^2$，因此分母等价于：
$x \cdot x^2 = x^3.$
代入原式，得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3}}{x^3} = \frac{1}{3}.$
或者，使用洛必达法则，分子求导得 $\sin x^2$，分母求导得 $\cos x \ln(1+x^2) + \sin x \cdot \frac{2x}{1+x^2} \sim x^2 + 2x^2 = 3x^2$，故：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{3x^2} = \frac{1}{3}.$

答案： $\boxed{\frac{1}{3}}$

解析

本题主要考查了等价无穷小替换以及洛必达法则在求极限中的应用。解题的关键在于利用常见的等价无穷小关系简化分子分母，或者通过洛必达法则对原式进行化简求解。

  1. 方法一：等价无穷小替换法
    • 首先，对于分子$\int_{0}^{x}\sin t^{2}dt$，当$x \to 0$时，根据等价无穷小的知识，$\sin u\sim u$（$u\to0$），在这里$u = t^2$，当$t$在$[0,x]$区间且$x\to0$时，$t^2\to0$，所以$\sin t^2\sim t^2$。
    • 那么$\int_{0}^{x}\sin t^{2}dt$就可以近似为$\int_{0}^{x}t^{2}dt$，根据定积分的计算法则$\int_{a}^{b}x^n dx=\left[\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}\right]_{a}^{b}$（$n\neq -1$），可得：
      $\int_{0}^{x}t^{2}dt=\left[\frac{1}{3}t^{3}\right]_{0}^{x}=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{3}\times0^{3}=\frac{x^{3}}{3}$
    • 接着看分母$\sin x\ln(1 + x^{2})$，当$x \to 0$时，根据常见的等价无穷小关系，$\sin x\sim x$，$\ln(1 + u)\sim u$（$u\to0$），这里$u = x^2$，当$x\to0$时，$x^2\to0$，所以$\ln(1 + x^{2})\sim x^{2}$。
    • 则分母$\sin x\ln(1 + x^{2})\sim x\cdot x^{2}=x^{3}$。
    • 最后将分子分母的等价无穷小代入原式，可得：
      $\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\sin t^{2}dt}{\sin x\ln(1 + x^{2})}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^{3}}{3}}{x^{3}}=\frac{1}{3}$
  2. 方法二：洛必达法则法
    • 洛必达法则是指在一定条件下，对于$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型的极限$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$，有$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$。
    • 当$x\to0$时，原式$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\sin t^{2}dt}{\sin x\ln(1 + x^{2})}$是$\frac{0}{0}$型极限。
    • 对分子$\int_{0}^{x}\sin t^{2}dt$求导，根据变上限积分求导法则，若$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$，则$F^\prime(x)=f(x)$，所以$(\int_{0}^{x}\sin t^{2}dt)^\prime=\sin x^{2}$。
    • 对分母$\sin x\ln(1 + x^{2})$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = \sin x$，$v = \ln(1 + x^{2})$。
      $u^\prime = (\sin x)^\prime=\cos x$，$v^\prime = [\ln( \ln(1 + x^{2})$]^\prime=\frac{2x}{1 + x^{2}})。
      则$(\sin x\ln(1 + x^{2}))^\prime=\cos x\ln(1 + x^{2})+\sin x\cdot\frac{2x}{1 + x^{2}}$。
      当$x\to0$时，$\cos x\to1$，$\ln(1 + x^{2})\sim x^{2}$，$\sin x\sim x$，所以$\cos x\ln(1 + x^{2})+\sin x\cdot\frac{2x}{1 + x^{2}}\sim1\times x^{2}+x\cdot\frac{2x}{1 + 0}=x^{2}+2x^{2}=3x^{2}$。
    • 那么$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\sin t^{2}dt}{\sin x\ln(1 + x^{2})}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x^{2}}{3x^{2}}$，又因为当$x\to0$时，$\sin x^{2}\sim x^{2}$，所以$\lim_{x\to0}\frac{\sin x^{2}}{3x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{3x^{2}}=\frac{1}{3}$。