如图所示,列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶,在我们所讨论的时间范围内,-|||-其运动学方程为 =80t-(t)^2 (单位:m·s). t=0 时,列车在图中O点.此圆弧形轨道的半径-|||-=1500m. 求列车驶过O点以后前进至1200m处的速率v及加速度.-|||-北↑-|||-东-|||-v

考查要点：本题主要考查圆周运动中速度、加速度的计算，以及矢量合成的应用。
解题思路：

1. 确定时间：根据路程方程 $s=80t-t^2$，求出列车行驶 $1200\ \text{m}$ 对应的时间 $t$。
2. 计算速度：对路程求导得速度 $v=\frac{\text{d}s}{\text{d}t}$，代入时间 $t$。
3. 分解加速度：圆周运动的加速度分为切向加速度 $a_t$（速度变化率）和法向加速度 $a_n$（$v^2/r$）。
4. 合成加速度：通过矢量合成计算总加速度大小及方向。

关键点：

• 切向加速度方向与速度方向相反（因速度减小）。
• 法向加速度始终指向圆心，与速度方向垂直。

1. 确定时间 $t$

由路程方程 $s=80t-t^2$，令 $s=1200\ \text{m}$，解得：
$t^2 - 80t + 1200 = 0 \implies t = \frac{80 \pm \sqrt{80^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1200}}{2} = \frac{80 \pm 40}{2}$
取较小解 $t=20\ \text{s}$（列车首次到达 $1200\ \text{m}$）。

2. 计算速度 $v$

速度为路程对时间的导数：
$v = \frac{\text{d}s}{\text{d}t} = 80 - 2t$
代入 $t=20\ \text{s}$：
$v = 80 - 2 \cdot 20 = 40\ \text{m/s}$

3. 分解加速度

• 切向加速度：速度变化率
  $a_t = \frac{\text{d}v}{\text{d}t} = -2\ \text{m/s}^2$
• 法向加速度：
  $a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{40^2}{1500} \approx 1.0667\ \text{m/s}^2$

4. 合成总加速度

• 大小：
  $a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1.0667^2} \approx 2.267\ \text{m/s}^2$
• 方向：与速度夹角 $\theta$ 满足
  $\tan\theta = \frac{a_n}{|a_t|} = \frac{1.0667}{2} \implies \theta \approx 28.07^\circ$
  由于切向加速度方向与速度相反，总夹角为 $180^\circ - 28.07^\circ \approx 152^\circ$。