题目

下列各对随机变量X和Y,问哪几对是相互独立的?哪几对是不相-|||-关的.-|||-(1) sim U(0,1) =(X)^2.-|||-(2) sim U(-1,1) =(X)^2.-|||-(3) =cos V =sin V, sim U(0,2pi ).-|||-若(X,Y)的概率密度为f(x,y),-|||-(4) f(x,y)= ) x+y 0lt xlt 1, 0lt ylt 1 0, 其他. .


题目解答

答案

解析

独立性与不相关性是随机变量之间的重要关系：

  • 独立：联合密度函数等于边缘密度函数的乘积，即$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$几乎处处成立；
  • 不相关：协方差$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$；
  • 独立⇒不相关，但反之不成立。

关键思路：

  1. 判断独立性：检查联合密度是否可分解为边缘密度的乘积；
  2. 计算协方差：若协方差为0，则不相关，否则相关；
  3. 函数关系：若$Y$是$X$的函数，则不独立，但可能不相关（如对称分布）。

(1) $X \sim U(0,1)$，$Y=X^2$

  • 独立性：$Y$是$X$的函数，完全依赖于$X$，故不独立；
  • 协方差：
    • $E(X)=\frac{1}{2}$，$E(Y)=\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$；
    • $E(XY)=E(X^3)=\int_0^1 x^3 dx = \frac{1}{4}$；
    • $Cov(X,Y)=\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12} \neq 0$，故相关。

(2) $X \sim U(-1,1)$，$Y=X^2$

  • 独立性：$Y$是$X$的函数，故不独立；
  • 协方差：
    • $E(X)=0$，$E(Y)=\int_{-1}^1 \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{3}$；
    • $E(XY)=E(X^3)=\int_{-1}^1 \frac{1}{2}x^3 dx = 0$（奇函数积分）；
    • $Cov(X,Y)=0 - 0 \cdot \frac{1}{3} = 0$，故不相关。

(3) $X=\cos V$，$Y=\sin V$，$V \sim U(0,2\pi)$

  • 独立性：$X^2+Y^2=1$，存在确定关系，故不独立；
  • 协方差：
    • $E(X)=E(Y)=0$；
    • $E(XY)=E(\cos V \sin V)=\frac{1}{2}E(\sin 2V)=0$（周期对称性）；
    • $Cov(X,Y)=0 - 0 \cdot 0 = 0$，故不相关。

(4) $f(x,y)=\begin{cases} x+y & 0

  • 独立性：
    • 边缘密度：$f_X(x)=x+\frac{1}{2}$，$f_Y(y)=y+\frac{1}{2}$；
    • $f_X(x)f_Y(y)=(x+\frac{1}{2})(y+\frac{1}{2}) \neq x+y$，故不独立；
  • 协方差：
    • $E(X)=E(Y)=\frac{7}{12}$，$E(XY)=\int_0^1 \int_0^1 xy(x+y) dx dy = \frac{1}{3}$；
    • $Cov(X,Y)=\frac{1}{3} - \left(\frac{7}{12}\right)^2 \neq 0$，故相关。

(5) $f(x,y)=\begin{cases} 2y & 0

  • 独立性：
    • 边缘密度：$f_X(x)=1$，$f_Y(y)=2y$；
    • $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，故独立；
  • 不相关：独立必然不相关。