题目
3.（5.0分） 曲面xcos z+ycos x-(pi)/(2)z=(pi)/(2)在点((pi)/(2),1-(pi)/(2),0)处的切平面方程为（） A. x-z=pi-1; B. x-y=pi-1; C. x-y=(pi)/(2); D. x-z=(pi)/(2).
3.（5.0分） 曲面$x\cos z+y\cos x-\frac{\pi}{2}z=\frac{\pi}{2}$在点$\left(\frac{\pi}{2},1-\frac{\pi}{2},0\right)$处的切平面方程为（）
A. $x-z=\pi-1$;
B. $x-y=\pi-1$;
C. $x-y=\frac{\pi}{2}$;
D. $x-z=\frac{\pi}{2}$.
A. $x-z=\pi-1$;
B. $x-y=\pi-1$;
C. $x-y=\frac{\pi}{2}$;
D. $x-z=\frac{\pi}{2}$.
题目解答
答案
为了找到曲面 $x \cos z + y \cos x - \frac{\pi}{2} z = \frac{\pi}{2}$ 在点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1 - \frac{\pi}{2}, 0\right)$ 处的切平面方程，我们需要遵循以下步骤：
1. **计算曲面的梯度：**
曲面由函数 $F(x, y, z) = x \cos z + y \cos x - \frac{\pi}{2} z - \frac{\pi}{2} = 0$ 给出。曲面在某点的梯度是该点处曲面的法向量。梯度 $\nabla F$ 由下式给出：
\[
\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)
\]
计算偏导数，我们得到：
\[
\frac{\partial F}{\partial x} = \cos z - y \sin x, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = \cos x, \quad \frac{\partial F}{\partial z} = -x \sin z - \frac{\pi}{2}
\]
因此，梯度为：
\[
\nabla F = \left( \cos z - y \sin x, \cos x, -x \sin z - \frac{\pi}{2} \right)
\]
2. **在点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1 - \frac{\pi}{2}, 0\right)$ 处评估梯度：**
将 $x = \frac{\pi}{2}$，$y = 1 - \frac{\pi}{2}$，和 $z = 0$ 代入梯度，我们得到：
\[
\nabla F \left( \frac{\pi}{2}, 1 - \frac{\pi}{2}, 0 \right) = \left( \cos 0 - \left(1 - \frac{\pi}{2}\right) \sin \frac{\pi}{2}, \cos \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} \sin 0 - \frac{\pi}{2} \right) = \left( 1 - \left(1 - \frac{\pi}{2}\right), 0, -\frac{\pi}{2} \right) = \left( \frac{\pi}{2}, 0, -\frac{\pi}{2} \right)
\]
因此，点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1 - \frac{\pi}{2}, 0\right)$ 处的法向量为 $\left( \frac{\pi}{2}, 0, -\frac{\pi}{2} \right)$。
3. **写出切平面的方程：**
点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的切平面方程，法向量为 $(a, b, c)$ 的形式为：
\[
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
\]
代入 $a = \frac{\pi}{2}$，$b = 0$，$c = -\frac{\pi}{2}$，$x_0 = \frac{\pi}{2}$，$y_0 = 1 - \frac{\pi}{2}$，和 $z_0 = 0$，我们得到：
\[
\frac{\pi}{2} \left( x - \frac{\pi}{2} \right) + 0 \left( y - \left(1 - \frac{\pi}{2}\right) \right) - \frac{\pi}{2} (z - 0) = 0
\]
简化后，我们得到：
\[
\frac{\pi}{2} x - \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2} z = 0
\]
乘以 $\frac{2}{\pi}$，我们得到：
\[
x - z - \frac{\pi}{2} = 0 \quad \text{或} \quad x - z = \frac{\pi}{2}
\]
因此，切平面的方程为：
\[
x - z = \frac{\pi}{2}
\]
正确答案是 $\boxed{D}$。
解析
本题考查曲面切平面方程的求解，解题思路是先求出曲面的法向量，再利用点法式方程来确定切平面方程。
- 构造函数并求偏导数：
- 设$F(x,y,z)=x\cos z + y\cos x - \frac{\pi}{2}z - \frac{\pi}{2}$。
- 根据求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，$(\cos x)^\prime=-\sin x$，$(\sin x)^\prime=\cos x$，分别对$x$、$y$、$z$求偏导数：
- 对$x$求偏导数：$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x\cos z + y\cos x - \frac{\pi}{2}z - \frac{\pi}{2})=\cos z - y\sin x$。
- 对$y$求偏导数：$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x\cos z + y\cos x - \frac{\pi}{2}z - \frac{\pi}{2})=\cos x$。
- 对$z$求偏导数：$\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x\cos z + y\cos x - \frac{\pi}{2}z - \frac{\pi}{2})=-x\sin z - \frac{\pi}{2}$。
- 求在给定点处的法向量：
- 已知点$(\frac{\pi}{2},1 - \frac{\pi}{2},0)$，将$x = \frac{\pi}{2}$，$y = 1 - \frac{\pi}{2}$，$z = 0$代入偏导数中：
- $\frac{\partial F}{\partial x}\big|_{(\frac{\pi}{2},1 - \frac{\pi}{2},0)}=\cos 0 - (1 - \frac{\pi}{2})\sin\frac{\pi}{2}=1-(1 - \frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}$。
- $\frac{\partial F}{\partial y}\big|_{(\frac{\pi}{2},1 - \frac{\pi}{2},0)}=\cos\frac{\pi}{2}=0$。
- $\frac{\partial F}{\partial z}\big|_{(\frac{\pi}{2},1 - \frac{\pi}{2},0)}=-\frac{\pi}{2}\sin 0 - \frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$。
- 所以，曲面在点$(\frac{\pi}{2},1 - \frac{\pi}{2},0)$处的法向量$\vec{n}=(\frac{\pi}{2},0,-\frac{\pi}{2})$。
- 已知点$(\frac{\pi}{2},1 - \frac{\pi}{2},0)$，将$x = \frac{\pi}{2}$，$y = 1 - \frac{\pi}{2}$，$z = 0$代入偏导数中：
- 根据点法式方程求切平面方程：
- 点法式方程为$A(x - x_0)+B(y - y_0)+C(z - z_0)=0$，其中$(x_0,y_0,z_0)$为已知点，$(A,B,C)$为法向量。
- 这里$x_0 = \frac{\pi}{2}$，$y_0 = 1 - \frac{\pi}{2}$，$z_0 = 0$，$A = \frac{\pi}{2}$，$B = 0$，$C = -\frac{\pi}{2}$，代入点法式方程可得：
$\frac{\pi}{2}(x - \frac{\pi}{2})+0\times(y-(1 - \frac{\pi}{2}))-\frac{\pi}{2}(z - 0)=0$。 - 化简方程：
$\frac{\pi}{2}x-\frac{\pi^2}{4}-\frac{\pi}{2}z = 0$，两边同时乘以$\frac{2}{\pi}$，得到$x - z-\frac{\pi}{2}=0$，即$x - z=\frac{\pi}{2}$。