题目

设 A 是 3 阶方阵 , 将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B, 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为（ ） A:⎛⎝⎜⎜011100001⎞⎠⎟⎟ B:⎛⎝⎜⎜010100011⎞⎠⎟⎟ C:⎛⎝⎜⎜010101001⎞⎠⎟⎟ D:⎛⎝⎜⎜010100101⎞⎠⎟⎟

设 A 是 3 阶方阵 , 将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B, 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为（ ）


A:⎛⎝⎜⎜011100001⎞⎠⎟⎟

B:⎛⎝⎜⎜010100011⎞⎠⎟⎟

C:⎛⎝⎜⎜010101001⎞⎠⎟⎟

D:⎛⎝⎜⎜010100101⎞⎠⎟⎟

题目解答

答案

由题意：

B=A⎡⎣⎢⎢010100001⎤⎦⎥⎥,C=B⎡⎣⎢⎢100010011⎤⎦⎥⎥ ，

∴C=A⎡⎣⎢⎢010100001⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢100010011⎤⎦⎥⎥=A⎡⎣⎢⎢010100101⎤⎦⎥⎥=AQ ，

从而： Q=⎡⎣⎢⎢010100101⎤⎦⎥⎥ ，

故选：D.

解析

步骤 1：理解矩阵变换
将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，意味着 B = A * P1，其中 P1 是一个将第 1 列与第 2 列交换的初等矩阵。
步骤 2：确定 P1
P1 = ⎛⎝⎜⎜010100001⎞⎠⎟⎟
步骤 3：理解矩阵变换
再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，意味着 C = B * P2，其中 P2 是一个将第 2 列加到第 3 列的初等矩阵。
步骤 4：确定 P2
P2 = ⎛⎝⎜⎜100010011⎞⎠⎟⎟
步骤 5：计算 Q
因为 C = A * P1 * P2，所以 C = A * Q，其中 Q = P1 * P2。
步骤 6：计算 Q
Q = ⎛⎝⎜⎜010100001⎞⎠⎟⎟ * ⎛⎝⎜⎜100010011⎞⎠⎟⎟ = ⎛⎝⎜⎜010100101⎞⎠⎟⎟