函数u=x^2-y^2,求其共轭调和函数v.A. xy+c, C为实数B. 2xyC. 2xy+c, C为实数D. z^2+C, C为复数

考查要点：本题主要考查共轭调和函数的求解方法，涉及柯西-黎曼方程和调和函数的判定。

解题核心思路：

1. 验证给定函数是否为调和函数：计算拉普拉斯算子是否为零。
2. 利用柯西-黎曼方程求解共轭函数：通过偏导数关系积分求解，并确定任意常数。
3. 验证共轭函数是否为调和函数：确保结果满足拉普拉斯方程。

破题关键点：

• 正确应用柯西-黎曼方程，注意积分过程中常数项的处理。
• 区分实常数与复常数：共轭调和函数中的常数项应为实数。

步骤1：验证u为调和函数

计算u的二阶偏导数：
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -2$
拉普拉斯算子为：
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2 + (-2) = 0$
因此，u是调和函数。

步骤2：应用柯西-黎曼方程求v

根据柯西-黎曼方程：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

1. 求偏导数：
   $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y$
2. 积分求v：
   • 由$\frac{\partial v}{\partial y} = 2x$，对y积分得：
     $v = 2xy + C(x)$
   • 代入$\frac{\partial v}{\partial x} = 2y + C'(x)$，结合$\frac{\partial u}{\partial y} = -2y$，得：
     $-2y = -(2y + C'(x)) \implies C'(x) = 0 \implies C(x) = C \quad (\text{实常数})$
   • 最终得：
     $v = 2xy + C$

步骤3：验证v为调和函数

计算v的拉普拉斯算子：
$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = 0, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0 \implies \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$
因此，v是调和函数。