题目
4.设曲线L是圆周x^2+y^2=R^2(R>0)的整个圆周曲线，则第一类曲线积分int_(L)e^sqrt(x^(2)+y^{2)}ds等于（）.A. 0B. pi Re^RC. 2πRD. 2πRe^R
4.设曲线L是圆周$x^{2}+y^{2}=R^{2}(R>0)$的整个圆周曲线，则第一类曲线积分$\int_{L}e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}ds$等于（）.
A. 0
B. $\pi Re^{R}$
C. 2πR
D. 2πRe^{R}
题目解答
答案
D. 2πRe^{R}
解析
步骤 1：确定被积函数和曲线
曲线L是圆周$x^{2}+y^{2}=R^{2}$，被积函数是$e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$。由于曲线L是圆周，所以对于圆周上的任意一点，$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=R$。
步骤 2：化简被积函数
由于$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=R$，被积函数$e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$可以化简为$e^{R}$，这是一个常数。
步骤 3：计算曲线积分
曲线积分$\int_{L}e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}ds$可以化简为$\int_{L}e^{R}ds$。由于$e^{R}$是常数，可以提出积分号外，得到$e^{R}\int_{L}ds$。$\int_{L}ds$表示曲线L的弧长，对于圆周$x^{2}+y^{2}=R^{2}$，其弧长为$2\pi R$。因此，曲线积分等于$e^{R}\cdot 2\pi R$。
曲线L是圆周$x^{2}+y^{2}=R^{2}$，被积函数是$e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$。由于曲线L是圆周，所以对于圆周上的任意一点，$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=R$。
步骤 2：化简被积函数
由于$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=R$，被积函数$e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$可以化简为$e^{R}$，这是一个常数。
步骤 3：计算曲线积分
曲线积分$\int_{L}e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}ds$可以化简为$\int_{L}e^{R}ds$。由于$e^{R}$是常数，可以提出积分号外，得到$e^{R}\int_{L}ds$。$\int_{L}ds$表示曲线L的弧长，对于圆周$x^{2}+y^{2}=R^{2}$，其弧长为$2\pi R$。因此，曲线积分等于$e^{R}\cdot 2\pi R$。