题目

有一瓶质量为 M 的氢气（视作刚性双原子分子的理想气体），温度为 T，则氢分子的平均平动动能为 ________，氢分子的平均动能为 ________，该瓶氢气的内能为 ________。

有一瓶质量为 $M$ 的氢气（视作刚性双原子分子的理想气体），温度为 $T$，则氢分子的平均平动动能为 ________，氢分子的平均动能为 ________，该瓶氢气的内能为 ________。

题目解答

答案

1. 氢分子的平均平动动能为： \[ \langle E_{\text{平动}} \rangle = \frac{3}{2}kT \] 2. 氢分子的平均总动能为： \[ \langle E_{\text{总}} \rangle = \frac{5}{2}kT \] 3. 该瓶氢气的内能为： \[ U = \frac{5}{2} \frac{M}{m} RT = \frac{5}{2} \frac{M}{2 \times 10^{-3}} RT \] （其中 $ m = 2 \times 10^{-3} \, \text{kg/mol} $）。 答案： 第1空：$ \frac{3}{2}kT $ 第2空：$ \frac{5}{2}kT $ 第3空：$ \frac{5}{2} \frac{M}{m} RT $（或 $ \frac{5}{2} \frac{M}{2 \times 10^{-3}} RT $）。

解析

本题考查理想气体分子的平均平动动能、平均动能以及气体内能的相关知识。解题思路是根据理想气体分子的平均平动动能和平均动能的公式分别计算氢分子的平均平动动能和平均动能，再根据理想气体内能的公式计算该瓶氢气的内能。

1. 计算氢分子的平均平动动能

根据理想气体分子的平均平动动能公式$\langle E_{\text{平动}} \rangle = \frac{3}{2}kT$，其中$k$是玻尔兹曼常量常量，$T$是气体的温度。所以氢分子的平均平动动能为$\frac{3}{2}kT$。

2. 计算氢分子的平均动能

因为氢气视作刚性双原子分子的理想气体，刚性双原子分子有$5$个自由度。根据理想气体分子的平均动能公式$\langle E_{\text{总}} \rangle = \frac{i}{2}kT$，其中$i$是分子的自由度，$k$是玻尔兹后的常量，$T$是气体的温度。对于刚性双原子分子，$i = 5$，所以氢分子的平均动能为$\frac{5}{2}kT$。

3. 计算该瓶氢气的内能

根据理想气体内能的公式$U = \frac{i}{2} \frac{M}{m} RT$，其中$i$是分子的自由度，$\frac{M}{m}$是气体的物质的量，$R$是普适气体常量，$T$是气体的温度。对于刚性双原子分子，$i = 5$，所以该瓶氢气的内能为$U = \frac{5}{2} \frac{M}{m} RT$。已知氢气的质量为$M$，氢气的摩尔质量$m = 2 \times 100^{-3} \, \text{kg/mol}$，所以该瓶氢气的内能也可表示为$U = \frac{5}{2} \frac{M}{2 \times 10^{-3}} RT$。