int dfrac (x-1)({x)^2+2x+3}dx

考查要点：本题主要考查分式积分的解法，特别是通过配方法将分母转化为标准形式，并结合分子拆分进行分项积分的能力。

解题核心思路：

1. 配方法：将分母配方为$(x+1)^2 + 2$，简化积分形式。
2. 分子拆分：将分子$x-1$拆分为$(x+1)-2$，使其与分母的导数相关联，便于分项积分。
3. 分项积分：分别处理与分母导数相关的部分和标准反正切积分形式。

破题关键点：

• 配方法的应用，将二次分母转化为平方和形式。
• 分子拆分的技巧，分离出可积分的结构。
• 标准积分公式的灵活运用，包括$\int \frac{u'}{u^2 + a^2} dx$和$\int \frac{1}{u^2 + a^2} du$。

步骤1：配方分母
将分母$x^2 + 2x + 3$配方：
$x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2.$

步骤2：拆分分子
将分子$x-1$改写为$(x+1) - 2$，原积分变为：
$\int \frac{(x+1) - 2}{(x+1)^2 + 2} dx = \int \frac{x+1}{(x+1)^2 + 2} dx - 2 \int \frac{1}{(x+1)^2 + 2} dx.$

步骤3：分项积分

1. 第一项积分：
   令$u = (x+1)^2 + 2$，则$du = 2(x+1) dx$，即$(x+1) dx = \frac{du}{2}$，积分变为：
   $\int \frac{x+1}{(x+1)^2 + 2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 2x + 3) + C.$

2. 第二项积分：
   标准形式$\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C$，其中$u = x+1$，$a = \sqrt{2}$，得：
   $-2 \int \frac{1}{(x+1)^2 + 2} dx = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right) + C = -\sqrt{2} \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x+1)\right) + C.$

步骤4：合并结果
综合两部分结果，最终答案为：
$\frac{1}{2} \ln(x^2 + 2x + 3) - \sqrt{2} \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x+1)\right) + C.$