(8)当 arrow (0)^+ 时,与 sqrt (x) 等价的无穷小量是 ()-|||-(A) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_0bbf146690ba574197714b95df057a24.jpg-(e)^sqrt (x) (B) ln dfrac (1+x)(1-sqrt {x)} ;-|||-(C) sqrt (1+sqrt {x)}-1 ; (D) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_0bbf146690ba574197714b95df057a24.jpg-cos sqrt (x).

本题考查等价无穷小的判断，核心思路是通过泰勒展开或等价无穷小替换，比较各选项在$x \rightarrow 0^+$时的主部与$\sqrt{x}$的关系。关键点在于：

1. 等价无穷小的定义：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = 1$；
2. 正确展开各选项的泰勒式，提取主部；
3. 排除同阶但系数不为1的选项。

选项分析

(A) $1 - e^{\sqrt{x}}$

• 泰勒展开：$e^{\sqrt{x}} = 1 + \sqrt{x} + \frac{x}{2} + \cdots$；
• 主部：$1 - e^{\sqrt{x}} \approx -\sqrt{x}$；
• 比值极限：$\lim \frac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = -1 \neq 1$，同阶但非等价。

(B) $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$

• 拆分对数：$\ln(1+x) - \ln(1-\sqrt{x})$；
• 泰勒展开：
  • $\ln(1+x) \approx x$；
  • $\ln(1-\sqrt{x}) \approx -\sqrt{x}$；
• 主部：$x - (-\sqrt{x}) = \sqrt{x}$；
• 比值极限：$\lim \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1$，等价无穷小。

(C) $\sqrt{1+\sqrt{x}} - 1$

• 泰勒展开：$\sqrt{1+\sqrt{x}} \approx 1 + \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x}{8} + \cdots$；
• 主部：$\sqrt{1+\sqrt{x}} - 1 \approx \frac{\sqrt{x}}{2}$；
• 比值极限：$\lim \frac{\frac{\sqrt{x}}{2}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \neq 1$，同阶但非等价。

(D) $1 - \cos \sqrt{x}$

• 等价替换：$1 - \cos t \approx \frac{t^2}{2}$（$t = \sqrt{x}$）；
• 主部：$1 - \cos \sqrt{x} \approx \frac{x}{2}$；
• 比值极限：$\lim \frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{x}} = \lim \frac{\sqrt{x}}{2} = 0$，高阶无穷小。