题目
设f(x)与F(x)依次为随机变量X的概率密度函数和分布函数,则2f(x)F(x)一定是概率密度函数.A 对B 错
设f(x)与F(x)依次为随机变量X的概率密度函数和分布函数,则2f(x)F(x)一定是概率密度函数.
A 对
B 错
题目解答
答案
概率密度函数f(x)需要满足两个条件：
1. 非负性：对所有的x，有
。
2. 规范性：
。
对于函数2f(x)F(x)，虽然它满足非负性，但并不能保证满足规范性。因此，2f(x)F(x)不一定是概率密度函数。
所以，这道题的正确答案是B（错）。
解析
步骤 1：理解概率密度函数的性质
概率密度函数f(x)需要满足两个条件：
1. 非负性：对所有的x，有$f(x)\geqslant 0$。
2. 规范性：${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$。
步骤 2：分析2f(x)F(x)的性质
对于函数2f(x)F(x)，虽然它满足非负性，因为f(x)和F(x)都是非负的，所以2f(x)F(x)也是非负的。
但是，2f(x)F(x)并不一定满足规范性。
为了验证这一点，我们需要计算${\int }_{-\infty }^{+\infty }2f(x)F(x)dx$，并检查它是否等于1。
步骤 3：计算${\int }_{-\infty }^{+\infty }2f(x)F(x)dx$
由于F(x)是f(x)的分布函数，即$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$，所以${\int }_{-\infty }^{+\infty }2f(x)F(x)dx$并不一定等于1。
实际上，这个积分的值取决于f(x)的具体形式，而不能保证它总是等于1。
概率密度函数f(x)需要满足两个条件：
1. 非负性：对所有的x，有$f(x)\geqslant 0$。
2. 规范性：${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$。
步骤 2：分析2f(x)F(x)的性质
对于函数2f(x)F(x)，虽然它满足非负性，因为f(x)和F(x)都是非负的，所以2f(x)F(x)也是非负的。
但是，2f(x)F(x)并不一定满足规范性。
为了验证这一点，我们需要计算${\int }_{-\infty }^{+\infty }2f(x)F(x)dx$，并检查它是否等于1。
步骤 3：计算${\int }_{-\infty }^{+\infty }2f(x)F(x)dx$
由于F(x)是f(x)的分布函数，即$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$，所以${\int }_{-\infty }^{+\infty }2f(x)F(x)dx$并不一定等于1。
实际上，这个积分的值取决于f(x)的具体形式，而不能保证它总是等于1。