10.12 在一半径 R=1.0cm 的无限长半圆柱形金属薄片中,自上而下地有电流 I=5.0A 通-|||-过,电流分布均匀.如题10.12图所示.试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度.-|||-y↑-|||-dI=idl-|||-,-|||-β`R-|||-P,O dB x 题10.12图

考查要点：本题主要考查无限长载流导体的磁场计算，涉及电流的对称性分析和磁场叠加原理的应用。关键在于将半圆柱形电流分解为无数无限长直电流元，利用对称性简化积分过程。

解题思路：

1. 参数化电流分布：将半圆柱形电流沿周长方向分割为微小电流元，用角度$\theta$表示位置。
2. 计算单根电流元的磁场：利用无限长直导线的磁场公式，结合微小电流元的表达式。
3. 分解磁场分量：根据对称性，分析$x$和$y$方向的磁场分量，发现$x$分量相互抵消，仅需计算$y$分量的积分。
4. 积分求总磁场：通过定积分计算总磁场的$y$分量，最终得到结果。

电流元的分解与磁场表达式

1. 电流密度计算：
   半圆柱横截面积为$S = \frac{1}{2} \pi R^2$，电流密度为：
   $J = \frac{I}{S} = \frac{2I}{\pi R^2}$
2. 微小电流元$dI$：
   取周长方向微小宽度$dl = R d\theta$，对应电流元：
   $dI = J \cdot dl \cdot dz = \frac{2I}{\pi R^2} \cdot R d\theta \cdot dz$
   由于电流无限长，积分时$dz$不影响结果，最终简化为：
   $dI = \frac{I}{\pi} d\theta$

磁场分量的计算

1. 单根电流元的磁场：
   根据无限长直导线公式，微小磁场大小为：
   $dB = \frac{\mu_0 dI}{2\pi R} = \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} d\theta$
2. 分解$x$和$y$分量：
   磁场方向与电流元位置垂直，分解为：
   $dB_x = -dB \sin\theta, \quad dB_y = dB \cos\theta$

积分求总磁场

1. $x$分量积分：
   由对称性，$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin\theta d\theta = 0$，故$B_x = 0$。
2. $y$分量积分：
   积分$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta d\theta = 2$，得：
   $B_y = \frac{\mu_0 I}{\pi^2 R} \cdot 2 = \frac{2\mu_0 I}{\pi^2 R}$

代入数据

$B_y = \frac{2 \cdot 4\pi \times 10^{-7} \cdot 5.0}{\pi^2 \cdot 0.01} \approx 6.37 \times 10^{-5} \, \text{T}$