16.(15分) 椭圆C: (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1(a>b>0)的离心率为(sqrt(2))/(2)，长轴长为4.(1)求C的方程；(2)过点(0,-2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积是sqrt(2)，求|AB|.

为了解决这个问题，我们将按照以下步骤进行： 1. 确定椭圆的方程。 2. 找出直线 $ l $ 的方程以及它与椭圆的交点。 3. 计算三角形 $ OAB $ 的面积并求出直线的斜率。 4. 计算线段 $ AB $ 的长度。 ### 第1步：确定椭圆的方程 已知椭圆 $ C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 的离心率为 $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ 且长轴长为4，我们可以如下找到 $ a $ 和 $ b $： - 长轴长为 $ 2a = 4 $，因此 $ a = 2 $。 - 离心率 $ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2} $，因此 $ c = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $。 - 利用关系 $ c^2 = a^2 - b^2 $，我们得到 $ (\sqrt{2})^2 = 2^2 - b^2 $，即 $ 2 = 4 - b^2 $，因此 $ b^2 = 2 $ 且 $ b = \sqrt{2} $。 因此，椭圆的方程为： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1. \] ### 第2步：找出直线 $ l $ 的方程以及它与椭圆的交点 直线 $ l $ 通过点 $ (0, -2) $。设直线的斜率为 $ k $。直线的方程为： \[ y = kx - 2. \] 将 $ y = kx - 2 $ 代入椭圆方程： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{(kx - 2)^2}{2} = 1. \] \[ \frac{x^2}{4} + \frac{k^2x^2 - 4kx + 4}{2} = 1. \] \[ \frac{x^2}{4} + \frac{k^2x^2}{2} - \frac{4kx}{2} + \frac{4}{2} = 1. \] \[ \frac{x^2}{4} + \frac{k^2x^2}{2} - 2kx + 2 = 1. \] \[ \frac{x^2}{4} + \frac{2k^2x^2}{4} - 2kx + 2 = 1. \] \[ \frac{(1 + 2k^2)x^2}{4} - 2kx + 1 = 0. \] \[ (1 + 2k^2)x^2 - 8kx + 4 = 0. \] 设这个二次方程的根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $。根据韦达定理，我们有： \[ x_1 + x_2 = \frac{8k}{1 + 2k^2}, \] \[ x_1 x_2 = \frac{4}{1 + 2k^2}. \] 对应的 $ y $-坐标为 $ y_1 = kx_1 - 2 $ 和 $ y_2 = kx_2 - 2 $。 ### 第3步：计算三角形 $ OAB $ 的面积并求出直线的斜率 三角形 $ OAB $ 的面积由下式给出： \[ \text{面积} = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right|. \] \[ \text{面积} = \frac{1}{2} \left| x_1 (kx_2 - 2) - x_2 (kx_1 - 2) \right|. \] \[ \text{面积} = \frac{1}{2} \left| kx_1 x_2 - 2x_1 - kx_1 x_2 + 2x_2 \right|. \] \[ \text{面积} = \frac{1}{2} \left| 2(x_2 - x_1) \right|. \] \[ \text{面积} = \left| x_2 - x_1 \right|. \] 利用二次方程根的差的公式，我们有： \[ \left| x_2 - x_1 \right| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2}. \] \[ \left| x_2 - x_1 \right| = \sqrt{\left( \frac{8k}{1 + 2k^2} \right)^2 - 4 \cdot \frac{4}{1 + 2k^2}}. \] \[ \left| x_2 - x_1 \right| = \sqrt{\frac{64k^2}{(1 + 2k^2)^2} - \frac{16}{1 + 2k^2}}. \] \[ \left| x_2 - x_1 \right| = \sqrt{\frac{64k^2 - 16(1 + 2k^2)}{(1 + 2k^2)^2}}. \] \[ \left| x_2 - x_1 \right| = \sqrt{\frac{64k^2 - 16 - 32k^2}{(1 + 2k^2)^2}}. \] \[ \left| x_2 - x_1 \right| = \sqrt{\frac{32k^2 - 16}{(1 + 2k^2)^2}}. \] \[ \left| x_2 - x_1 \right| = \sqrt{\frac{16(2k^2 - 1)}{(1 + 2k^2)^2}}. \] \[ \left| x_2 - x_1 \right| = \frac{4 \sqrt{2k^2 - 1}}{1 + 2k^2}. \] 已知面积为 $ \sqrt{2} $，我们有： \[ \frac{4 \sqrt{2k^2 - 1}}{1 + 2k^2} = \sqrt{2}. \] \[ 4 \sqrt{2k^2 - 1} = \sqrt{2} (1 + 2k^2). \] \[ 16 (2k^2 - 1) = 2 (1 + 2k^2)^2. \] \[ 16 (2k^2 - 1) = 2 (1 + 4k^2 + 4k^4). \] \[ 32k^2 - 16 = 2 + 8k^2 + 8k^4. \] \[ 8k^4 - 24k^2 + 18 = 0. \] \[ 4k^4 - 12k^2 + 9 = 0. \] \[ (2k^2 - 3)^2 = 0. \] \[ 2k^2 - 3 = 0. \] \[ k^2 = \frac{3}{2}. \] \[ k = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}. \] ### 第4步：计算线段 $ AB $ 的长度 线段 $ AB $ 的长度由下式给出： \[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. \] \[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (kx_2 - kx_1)^2}. \] \[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 (1 + k^2)}. \] \[ |AB| = \sqrt{\left( \frac{4 \sqrt{2k^2 - 1}}{1 + 2k^2} \right)^2 (1 + k^2)}. \] \[ |AB| = \sqrt{\left( \frac{4 \sqrt{2 \cdot \frac{3}{2} - 1}}{1 + 2 \cdot \frac{3}{2}} \right)^2 \left(1 + \frac{3}{2}\right)}. \] \[ |AB| = \sqrt{\left( \frac{4 \sqrt{2}}{4} \right)^2 \left(\frac{5}{2}\right)}. \] \[ |AB| = \sqrt{2 \cdot \frac{5}{2}}. \] \[ |AB| = \sqrt{5}. \] 因此，线段 $ AB $ 的长度为： \[ \boxed{\sqrt{5}}. \]