下面说法正确的是()A AB = emptyset,则A - B = AB A, B互逆,则A, B互斥,反之成立C A, B互斥,则A, B可以同时发生D A, B不能同时发生,则A, B互逆
下面说法正确的是() A $AB = \emptyset$,则$A - B = A$ B $A, B$互逆,则$A, B$互斥,反之成立 C $A, B$互斥,则$A, B$可以同时发生 D $A, B$不能同时发生,则$A, B$互逆
题目解答
答案
我们逐项分析题目中的四个选项,判断哪一个说法是正确的。题目涉及集合与概率中的基本概念,如互斥、互逆(对立)、集合差等。
选项 A:
“若 $ AB = \emptyset $,则 $ A - B = A $”
- 首先,$ AB = \emptyset $ 表示集合 $ A $ 与 $ B $ 的交集为空集,即 $ A \cap B = \emptyset $,也就是 $ A $ 与 $ B $ 没有公共元素。
- $ A - B $ 表示属于 $ A $ 但不属于 $ B $ 的元素,即 $ A \setminus B = A \cap B^c $。
- 如果 $ A \cap B = \emptyset $,说明 $ A $ 中所有元素都不在 $ B $ 中,因此 $ A - B = A $。
✅ 这个说法是正确的。
选项 B:
“若 $ A, B $ 互逆,则 $ A, B $ 互斥,反之成立”
-
“互逆”通常指“对立事件”,即 $ B = A^c $($ B $ 是 $ A $ 的补集),此时 $ A \cup B = \Omega $(全集),且 $ A \cap B = \emptyset $。
-
“互斥”指 $ A \cap B = \emptyset $,即不能同时发生。
-
前半句:“若 $ A, B $ 互逆,则 $ A, B $ 互斥” 是对的,因为对立事件一定互斥。
-
后半句:“反之成立” 意思是:如果 $ A, B $ 互斥,则它们互逆。这是错误的。
举个反例:设样本空间为掷一个骰子,$ A = \{1\} $,$ B = \{2\} $,则 $ A \cap B = \emptyset $,互斥,但 $ A \cup B \neq \Omega $,且 $ B \neq A^c $,所以不互逆。
❌ 因此,整个命题“反之成立”是错的,选项 B 错误。
选项 C:
“若 $ A, B $ 互斥,则 $ A, B $ 可以同时发生”
- “互斥”就是“不能同时发生”,即 $ A \cap B = \emptyset $。
- 所以“可以同时发生”与“互斥”矛盾。
❌ 明显错误。
选项 D:
“若 $ A, B $ 不能同时发生,则 $ A, B $ 互逆”
- “不能同时发生”就是 $ A \cap B = \emptyset $,即互斥。
- 但互斥不一定是对立(互逆),互逆要求更强:除了互斥,还要求 $ A \cup B = \Omega $。
反例:还是掷骰子,$ A = \{1\} $,$ B = \{2\} $,不能同时发生(互斥),但 $ A \cup B \neq \{1,2,3,4,5,6\} $,所以不互逆。
❌ 所以 D 错误。
结论:
四个选项中,只有 A 是正确的。
✅ 正确答案是:
$\boxed{\text{A}}$
解析
本题考查集合运算与概率事件关系的基本概念,重点区分互斥事件与互逆事件的定义及相互关系。解题核心在于:
- 互斥事件:两事件不能同时发生,即交集为空;
- 互逆事件(对立事件):两事件互斥且并集为全集;
- 集合差的运算性质。
选项A
若 $A \cap B = \emptyset$,则 $A - B = A$
- 分析:集合差 $A - B$ 表示属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素,即 $A \setminus B = A \cap B^c$。
- 当 $A \cap B = \emptyset$ 时,$A$ 中所有元素均不在 $B$ 中,因此 $A \setminus B = A$。
- 结论:正确。
选项B
若 $A, B$ 互逆,则 $A, B$ 互斥,反之成立
- 分析:
- 互逆(对立):$B = A^c$,此时 $A \cup B = \Omega$ 且 $A \cap B = \emptyset$,故互逆必互斥。
- 反例:若 $A = \{1\}$,$B = \{2\}$,则 $A \cap B = \emptyset$(互斥),但 $A \cup B \neq \Omega$,故不互逆。
- 结论:错误。
选项C
若 $A, B$ 互斥,则 $A, B$ 可以同时发生
- 分析:互斥事件的定义即为不能同时发生,与“可以同时发生”矛盾。
- 结论:错误。
选项D
若 $A, B$ 不能同时发生,则 $A, B$ 互逆
- 分析:
- 不能同时发生仅说明 $A \cap B = \emptyset$(互斥),但未要求 $A \cup B = \Omega$。
- 反例:若 $A = \{1\}$,$B = \{2\}$,则 $A \cap B = \emptyset$,但 $A \cup B \neq \Omega$,故不互逆。
- 结论:错误。