题目
级数sum _(n=1)^infty ln (dfrac (n+1)(n))为sum _(n=1)^infty ln (dfrac (n+1)(n))A 收敛级数B 发散级数C 绝对收敛D 条件收敛
级数
为
A 收敛级数
B 发散级数
C 绝对收敛
D 条件收敛
题目解答
答案
由于
，
因此部分和
于是
，所以级数发散，故答案选
。
解析
步骤 1：分析级数的通项
级数的通项为$\ln (\dfrac {n+1}{n})$，可以将其写为$\ln (n+1)-\ln n$，这是利用了对数的性质$\ln (\dfrac {a}{b})=\ln a-\ln b$。
步骤 2：计算部分和
级数的部分和${S}_{n}$可以表示为：
${S}_{n}=\ln \dfrac {2}{1}+\ln \dfrac {3}{2}+\ln \dfrac {4}{3}+\cdots +\ln \dfrac {n+1}{n}$
$=(\ln 2-\ln 1)+(\ln 3-\ln 2)+(\ln 4-\ln 3)+\cdots +[\ln (n+1)-\ln n]$
$=\ln (n+1)$
步骤 3：求极限
求部分和${S}_{n}$的极限，即求$\lim _{n\rightarrow \infty }\ln (n+1)$的值。
$\lim _{n\rightarrow \infty }\ln (n+1)=+\infty$
由于部分和的极限为无穷大，所以级数发散。
级数的通项为$\ln (\dfrac {n+1}{n})$，可以将其写为$\ln (n+1)-\ln n$，这是利用了对数的性质$\ln (\dfrac {a}{b})=\ln a-\ln b$。
步骤 2：计算部分和
级数的部分和${S}_{n}$可以表示为：
${S}_{n}=\ln \dfrac {2}{1}+\ln \dfrac {3}{2}+\ln \dfrac {4}{3}+\cdots +\ln \dfrac {n+1}{n}$
$=(\ln 2-\ln 1)+(\ln 3-\ln 2)+(\ln 4-\ln 3)+\cdots +[\ln (n+1)-\ln n]$
$=\ln (n+1)$
步骤 3：求极限
求部分和${S}_{n}$的极限，即求$\lim _{n\rightarrow \infty }\ln (n+1)$的值。
$\lim _{n\rightarrow \infty }\ln (n+1)=+\infty$
由于部分和的极限为无穷大，所以级数发散。