题目

一、单选题（共20题，100.0分） 9.（单选题，5.0分） A=}2&1&01&2&a0&a&2，为使A可做Cholesky分解，则a的可能取值为（）. A. -2 B. 2 C. 0 D. 3

一、单选题（共20题，100.0分） 9.（单选题，5.0分） $A=\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&a\\0&a&2\end{bmatrix}$，为使A可做Cholesky分解，则a的可能取值为（）.
A. -2
B. 2
C. 0
D. 3

题目解答

答案

矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & a \\ 0 & a & 2 \end{bmatrix} $ 可进行Cholesky分解的条件是其所有顺序主子式均为正。 1. 第一阶主子式：$ A_{11} = 2 > 0 $。 2. 第二阶主子式：$ \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 > 0 $。 3. 第三阶主子式：$ \det(A) = 6 - 2a^2 $，需满足 $ 6 - 2a^2 > 0 $，解得 $ -\sqrt{3} < a < \sqrt{3} $。 选项中仅 $ a = 0 $ 满足条件。 **答案：** $\boxed{C}$

解析

Cholesky分解的条件是矩阵必须是对称正定矩阵。具体来说，需要满足以下两点：

  1. 矩阵对称：题目中的矩阵$A$已经是对称的，无需额外验证。
  2. 所有顺序主子式均大于0：需依次计算各阶主子式并确保其正定。

破题关键在于计算第三阶主子式（即矩阵$A$的行列式），并解不等式确定$a$的范围。

1. 验证对称性

矩阵$A$的元素满足$A_{ij}=A_{ji}$，因此矩阵对称。

2. 计算各阶顺序主子式

第一阶主子式

$A_{11} = 2 > 0$

第二阶主子式

$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3 > 0$

第三阶主子式

按第一行展开行列式：
$\begin{aligned}\det(A) &= 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & a \\ a & 2 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \\ &= 2(4 - a^2) - 1 \cdot 2 \\ &= 8 - 2a^2 - 2 \\ &= 6 - 2a^2 \end{aligned}$
要求$\det(A) > 0$，即：
$6 - 2a^2 > 0 \implies a^2 < 3 \implies -\sqrt{3} < a < \sqrt{3}$

3. 选项分析

选项中只有$a=0$满足$-\sqrt{3} < a < \sqrt{3}$，因此正确答案为C。