题目
已知抛物线y=-x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横坐标大1．（1）求b的值；（2）点A（x1，y1）在抛物线y=-x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y=-x2+bx上．（i）若h=3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；（ii）若x1=t-1，求h的最大值．
已知抛物线y=-x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y=-x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y=-x2+bx上．
（i）若h=3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ii）若x1=t-1，求h的最大值．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y=-x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y=-x2+bx上．
（i）若h=3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ii）若x1=t-1，求h的最大值．
题目解答
答案
解：（1）由抛物线y=-x2+bx的顶点的横坐标为$x=\frac{b}{2}$，
又由抛物线y=-x2+2x的顶点的横坐标为x=1，
因为抛物线y=-x2+bx的顶点的横坐标比y=-x2+2x的顶点的横坐标大1，
可得$\frac{b}{2}-1=1$，解得b=4；
（2）由点A（x1，y1）在抛物线y=-x2+2x上，可得$y_1=-x_1^2+2x_1$，
又由点B（x1+t，y1+h）在抛物线y=-x2+4x上，可得$y_1+h=-（x_1+t）^2+4（x_1+t）$，
则$-x_1^2+2x_1+h=-（x_1+t）^2+4（x_1+t）$，所以h=-t2-2x1t+2x1+4t，
（i）因为h=3t，所以3t=-t2-2x1t+2x1+4t，可得t（t+2x1）=t+2x1，
因为x1≥0，t＞0，可得t=1，则h=3；
（ii）将x1=t-1代入h=-t2-2x1t+2x1+4t，可得h=-3t2+8t-2，即$h=-3（t-\frac{4}{3}）^2+\frac{10}{3}$，
当$t=\frac{4}{3}$，即$x_1=\frac{1}{3}$时，h取最大值$\frac{10}{3}$．
又由抛物线y=-x2+2x的顶点的横坐标为x=1，
因为抛物线y=-x2+bx的顶点的横坐标比y=-x2+2x的顶点的横坐标大1，
可得$\frac{b}{2}-1=1$，解得b=4；
（2）由点A（x1，y1）在抛物线y=-x2+2x上，可得$y_1=-x_1^2+2x_1$，
又由点B（x1+t，y1+h）在抛物线y=-x2+4x上，可得$y_1+h=-（x_1+t）^2+4（x_1+t）$，
则$-x_1^2+2x_1+h=-（x_1+t）^2+4（x_1+t）$，所以h=-t2-2x1t+2x1+4t，
（i）因为h=3t，所以3t=-t2-2x1t+2x1+4t，可得t（t+2x1）=t+2x1，
因为x1≥0，t＞0，可得t=1，则h=3；
（ii）将x1=t-1代入h=-t2-2x1t+2x1+4t，可得h=-3t2+8t-2，即$h=-3（t-\frac{4}{3}）^2+\frac{10}{3}$，
当$t=\frac{4}{3}$，即$x_1=\frac{1}{3}$时，h取最大值$\frac{10}{3}$．
解析
步骤 1：求b的值
抛物线y=-x^{2}+bx的顶点横坐标为$x=\frac{b}{2}$，抛物线y=-x^{2}+2x的顶点横坐标为$x=1$。根据题意，抛物线y=-x^{2}+bx的顶点横坐标比抛物线y=-x^{2}+2x的顶点横坐标大1，即$\frac{b}{2}-1=1$，解得b=4。
步骤 2：求h的值
点A（x_1，y_1）在抛物线y=-x^{2}+2x上，所以$y_1=-x_1^2+2x_1$。点B（x_1+t，y_1+h）在抛物线y=-x^{2}+4x上，所以$y_1+h=-（x_1+t）^2+4（x_1+t）$。将$y_1=-x_1^2+2x_1$代入，得到$-x_1^2+2x_1+h=-（x_1+t）^2+4（x_1+t）$，化简得h=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t。
步骤 3：求h的值（i）
当h=3t时，代入h=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t，得到3t=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t，化简得t（t+2x_1）=t+2x_1。因为x_1≥0，t＞0，所以t=1，代入h=3t，得到h=3。
步骤 4：求h的最大值（ii）
将x_1=t-1代入h=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t，得到h=-3t^{2}+8t-2，即$h=-3（t-\frac{4}{3}）^2+\frac{10}{3}$。当$t=\frac{4}{3}$时，h取最大值$\frac{10}{3}$。
抛物线y=-x^{2}+bx的顶点横坐标为$x=\frac{b}{2}$，抛物线y=-x^{2}+2x的顶点横坐标为$x=1$。根据题意，抛物线y=-x^{2}+bx的顶点横坐标比抛物线y=-x^{2}+2x的顶点横坐标大1，即$\frac{b}{2}-1=1$，解得b=4。
步骤 2：求h的值
点A（x_1，y_1）在抛物线y=-x^{2}+2x上，所以$y_1=-x_1^2+2x_1$。点B（x_1+t，y_1+h）在抛物线y=-x^{2}+4x上，所以$y_1+h=-（x_1+t）^2+4（x_1+t）$。将$y_1=-x_1^2+2x_1$代入，得到$-x_1^2+2x_1+h=-（x_1+t）^2+4（x_1+t）$，化简得h=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t。
步骤 3：求h的值（i）
当h=3t时，代入h=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t，得到3t=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t，化简得t（t+2x_1）=t+2x_1。因为x_1≥0，t＞0，所以t=1，代入h=3t，得到h=3。
步骤 4：求h的最大值（ii）
将x_1=t-1代入h=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t，得到h=-3t^{2}+8t-2，即$h=-3（t-\frac{4}{3}）^2+\frac{10}{3}$。当$t=\frac{4}{3}$时，h取最大值$\frac{10}{3}$。