lim _(xarrow 0)dfrac (sin xy)(2x)= ()-|||-A.0-|||-B.1-|||-C. -2-|||-D.2

本题考查重要极限公式$\lim\limits_{\alpha\rightarrow0}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1$的应用以及极限的运算法则。解题思路是通过对原式进行变形，使其出现重要极限的形式，然后利用重要极限公式和极限的运算法则来求解。

1. 对原式原式$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin xy}{2x}$进行变形：
   • 为了构造出重要极限$\lim\limits_{\alpha\rightarrow0}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1$的形式形式，我们将原式分子分母同时乘以$y$（这里默认$y\neq0$，当$y = 0$时，$\sin(xy=\sin0 = 0$，则$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin xy}{2x}=\lim\limits_{x\rightarrow0\frac{0}{2x}=0$），得到$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin xy}{2x}{2x}\cdot y=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin xy}{xy}\cdot\frac{y}{2}$。
2. 利用极限的运算法则：
   • 根据极限的乘法运算法则$\lim\limits_{x\rightarrow a}[f(x)g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\cdot\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$（前提是$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$和$\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$都存在），则$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin xy}{xy}\cdot\frac{y}{2}=\lim\limits_{x\rightarrow0\frac{\sin xy}{xy}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{y}{2}$。
3. 应用重要极限公式：
   • 令$\alpha = xy$，当$x\rightarrow0$时，$\alpha\rightarrow0$，根据重要极限公式$\lim\limits_{\alpha\rightarrow0}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1$，所以$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin xy}{xy}=1$。
   • 而$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{y}{2}=\frac{y}{2}$（因为$y$在这里可看作常数）。
   • 那么$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin xy}{xy}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{y}{2}}=1\times\frac{y}{2}=\frac{y}{2}$。
   • 若本题默认$y = 2$，则$\frac{y}{2}=\frac{2}{2}=1$。