15.计算定积分I=int_(1)^3|x-2|dx.

为了计算定积分 $ I = \int_{1}^{3} |x-2| \, dx $，我们首先需要理解绝对值函数 $ |x-2| $ 的行为。绝对值函数 $ |x-2| $ 可以根据 $ x $ 的值分为两部分： - 当 $ x \geq 2 $ 时， $ |x-2| = x-2 $。 - 当 $ x < 2 $ 时， $ |x-2| = -(x-2) = -x + 2 $。 因此，我们可以将积分区间 $[1, 3]$ 分为两个子区间 $[1, 2]$ 和 $[2, 3]$，然后在每个子区间上分别计算积分。 1. 在区间 $[1, 2]$ 上， $ |x-2| = -x + 2 $。所以，积分变为： \[ \int_{1}^{2} (-x + 2) \, dx \] 2. 在区间 $[2, 3]$ 上， $ |x-2| = x-2 $。所以，积分变为： \[ \int_{2}^{3} (x-2) \, dx \] 现在，我们将这两个积分相加来得到原积分的值： \[ I = \int_{1}^{2} (-x + 2) \, dx + \int_{2}^{3} (x-2) \, dx \] 我们分别计算这两个积分。 对于第一个积分： \[ \int_{1}^{2} (-x + 2) \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + 2x \right]_{1}^{2} \] 代入上下限： \[ \left( -\frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) = \left( -2 + 4 \right) - \left( -\frac{1}{2} + 2 \right) = 2 - \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{1}{2} \] 对于第二个积分： \[ \int_{2}^{3} (x-2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{2}^{3} \] 代入上下限： \[ \left( \frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3 \right) - \left( \frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2 \right) = \left( \frac{9}{2} - 6 \right) - \left( 2 - 4 \right) = \left( \frac{9}{2} - \frac{12}{2} \right) - (-2) = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2} \] 将这两个结果相加： \[ I = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] 因此，定积分 $ I = \int_{1}^{3} |x-2| \, dx $ 的值是 $\boxed{1}$。