题目
12.（5.0分）方程(d^4y)/(dx^4)-y=0的一个基本解组是e^t,e^-t,cost,sint。A. 对B. 错
12.（5.0分）方程$\frac{d^{4}y}{dx^{4}}-y=0$的一个基本解组是$e^{t},e^{-t},cost,sint$。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：确定微分方程的特征方程
给定微分方程为$\frac{d^4 y}{dx^4} - y = 0$。这是一个四阶线性齐次微分方程，具有常系数。为了解它，我们假设解的形式为$y = e^{rt}$。将此代入微分方程，我们得到特征方程：\[r^4 - 1 = 0.\]
步骤 2：求解特征方程
我们对特征方程$r^4 - 1 = 0$进行因式分解：\[(r^2 - 1)(r^2 + 1) = 0.\] 进一步因式分解，我们得到：\[(r - 1)(r + 1)(r - i)(r + i) = 0.\] 因此，特征方程的根为：\[r = 1, -1, i, -i.\]
步骤 3：确定基本解组
与这些根对应的微分方程的解为：\[e^t, e^{-t}, e^{it}, e^{-it}.\] 使用欧拉公式$e^{it} = \cos t + i \sin t$和$e^{-it} = \cos t - i \sin t$，我们可以将解重写为实数形式：\[e^t, e^{-t}, \cos t, \sin t.\] 因此，微分方程$\frac{d^4 y}{dx^4} - y = 0$的一个基本解组是$e^t, e^{-t}, \cos t, \sin t$。
给定微分方程为$\frac{d^4 y}{dx^4} - y = 0$。这是一个四阶线性齐次微分方程，具有常系数。为了解它，我们假设解的形式为$y = e^{rt}$。将此代入微分方程，我们得到特征方程：\[r^4 - 1 = 0.\]
步骤 2：求解特征方程
我们对特征方程$r^4 - 1 = 0$进行因式分解：\[(r^2 - 1)(r^2 + 1) = 0.\] 进一步因式分解，我们得到：\[(r - 1)(r + 1)(r - i)(r + i) = 0.\] 因此，特征方程的根为：\[r = 1, -1, i, -i.\]
步骤 3：确定基本解组
与这些根对应的微分方程的解为：\[e^t, e^{-t}, e^{it}, e^{-it}.\] 使用欧拉公式$e^{it} = \cos t + i \sin t$和$e^{-it} = \cos t - i \sin t$，我们可以将解重写为实数形式：\[e^t, e^{-t}, \cos t, \sin t.\] 因此，微分方程$\frac{d^4 y}{dx^4} - y = 0$的一个基本解组是$e^t, e^{-t}, \cos t, \sin t$。