4、计算iintlimits_(Sigma )dydz-ydzdx+(z+1)dxdy，其中Sigma是球面x^2+y^2+z^2=R^2的下半部分的

考查要点：本题主要考查第二类曲面积分的计算，重点在于高斯公式的应用以及补面法的使用。

解题核心思路：

1. 构造闭合曲面：将原曲面$\Sigma$（下半球面）与平面$z=0$（上侧）组合成闭合曲面，利用高斯公式将曲面积分转化为体积分。
2. 计算散度：验证向量场$\mathbf{F} = (1, -y, z+1)$的散度为$0$，从而闭合曲面的通量为$0$。
3. 分离积分：通过闭合曲面通量为$0$，将原曲面$\Sigma$的通量转化为平面$z=0$的通量的相反数。

破题关键点：

• 正确构造闭合曲面，并确定补面的方向。
• 准确计算向量场的散度，简化体积分。
• 注意投影积分时变量的取值范围，特别是$z=0$时的简化。

步骤1：构造闭合曲面

将下半球面$\Sigma$与平面$z=0$（上侧，记为$S$）组合成闭合曲面$\Sigma \cup S$，方向均取外侧。

步骤2：应用高斯公式

向量场$\mathbf{F} = (1, -y, z+1)$的散度为：
$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(1) + \frac{\partial}{\partial y}(-y) + \frac{\partial}{\partial z}(z+1) = 0 -1 +1 = 0.$
根据高斯公式，闭合曲面通量为：
$\iint\limits_{\Sigma \cup S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_{V} (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = 0.$
因此，原曲面$\Sigma$的通量与平面$S$的通量满足：
$\iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = -\iint\limits_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}.$

步骤3：计算平面$S$的通量

在平面$S$（$z=0$，上侧）上，法向量为$(0,0,1)$，投影到$x$-$y$平面。代入$z=0$，向量场$\mathbf{F}$的$z$分量为$z+1=1$，故通量为：
$\iint\limits_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq R^2} 1 \, dxdy = \pi R^2.$

步骤4：求原曲面$\Sigma$的通量

最终结果为：
$\iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = -\pi R^2.$