题目
8. 函数z=2x+y在点(1，2)沿各方向的方向导数的最大值为：（）A. 3；B. 0；C. sqrt(5)；D. 2.
8. 函数z=2x+y在点(1，2)沿各方向的方向导数的最大值为：（）
A. 3；
B. 0；
C. $\sqrt{5}$；
D. 2.
题目解答
答案
C. $\sqrt{5}$；
解析
步骤 1：计算函数的梯度
函数 $ z = 2x + y $ 的梯度由下式给出： \[ \nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right) = (2, 1) \] 步骤 2：计算梯度的模
梯度的模为： \[ $ \nabla z $ = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 步骤 3：确定方向导数的最大值
方向导数的最大值发生在方向与梯度方向相同时，这个最大值就是梯度的模。因此，函数 $ z = 2x + y $ 在点 $ (1, 2) $ 沿各方向的方向导数的最大值是梯度的模，即 $ \sqrt{5} $。
函数 $ z = 2x + y $ 的梯度由下式给出： \[ \nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right) = (2, 1) \] 步骤 2：计算梯度的模
梯度的模为： \[ $ \nabla z $ = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 步骤 3：确定方向导数的最大值
方向导数的最大值发生在方向与梯度方向相同时，这个最大值就是梯度的模。因此，函数 $ z = 2x + y $ 在点 $ (1, 2) $ 沿各方向的方向导数的最大值是梯度的模，即 $ \sqrt{5} $。