题目
将一个颗骰子抛掷两次,以X表示两次中得到的小的点数,试求X的分布律?
将一个颗骰子抛掷两次,以$$X$$表示两次中得到的小的点数,试求$$X$$的分布律?
题目解答
答案
$$x$$的可取值为$$1，2，3，4，5，6$$
$$P(X=1)=\frac{1}{6}\times1+\frac{5}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{11}{36}$$
$$P(X=2)=\frac{1}{6}\times \frac{5}{6} +\frac{4}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{9}{36}$$
$$P(X=3)=\frac{1}{6}\times \frac{4}{6} +\frac{3}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{7}{36}$$
$$P(X=4)=\frac{1}{6}\times \frac{3}{6} +\frac{2}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{5}{36}$$
$$P(X=5)=\frac{1}{6}\times \frac{2}{6} +\frac{1}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{3}{36}$$
$$P(X=6)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{1}{36}$$
解析
步骤 1：确定随机变量$$X$$的取值范围
随机变量$$X$$表示两次抛掷骰子中得到的较小的点数，因此$$X$$的取值范围为$$1,2,3,4,5,6$$。
步骤 2：计算$$X$$取每个值的概率
对于$$X$$取值为$$k$$的情况，有两种情况：
- 第一次抛掷得到$$k$$，第二次抛掷得到$$k$$或大于$$k$$的点数。
- 第一次抛掷得到大于$$k$$的点数，第二次抛掷得到$$k$$。
对于$$k=1$$，第一次抛掷得到$$1$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$1$$或大于$$1$$的点数的概率为$$1$$，因此$$P(X=1)=\frac{1}{6}\times1+\frac{5}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{11}{36}$$。
对于$$k=2$$，第一次抛掷得到$$2$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$2$$或大于$$2$$的点数的概率为$$\frac{5}{6}$$，第一次抛掷得到大于$$2$$的点数的概率为$$\frac{4}{6}$$，第二次抛掷得到$$2$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，因此$$P(X=2)=\frac{1}{6}\times \frac{5}{6} +\frac{4}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{9}{36}$$。
对于$$k=3$$，第一次抛掷得到$$3$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$3$$或大于$$3$$的点数的概率为$$\frac{4}{6}$$，第一次抛掷得到大于$$3$$的点数的概率为$$\frac{3}{6}$$，第二次抛掷得到$$3$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，因此$$P(X=3)=\frac{1}{6}\times \frac{4}{6} +\frac{3}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{7}{36}$$。
对于$$k=4$$，第一次抛掷得到$$4$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$4$$或大于$$4$$的点数的概率为$$\frac{3}{6}$$，第一次抛掷得到大于$$4$$的点数的概率为$$\frac{2}{6}$$，第二次抛掷得到$$4$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，因此$$P(X=4)=\frac{1}{6}\times \frac{3}{6} +\frac{2}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{5}{36}$$。
对于$$k=5$$，第一次抛掷得到$$5$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$5$$或大于$$5$$的点数的概率为$$\frac{2}{6}$$，第一次抛掷得到大于$$5$$的点数的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$5$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，因此$$P(X=5)=\frac{1}{6}\times \frac{2}{6} +\frac{1}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{3}{36}$$。
对于$$k=6$$，第一次抛掷得到$$6$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$6$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，因此$$P(X=6)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{1}{36}$$。
随机变量$$X$$表示两次抛掷骰子中得到的较小的点数，因此$$X$$的取值范围为$$1,2,3,4,5,6$$。
步骤 2：计算$$X$$取每个值的概率
对于$$X$$取值为$$k$$的情况，有两种情况：
- 第一次抛掷得到$$k$$，第二次抛掷得到$$k$$或大于$$k$$的点数。
- 第一次抛掷得到大于$$k$$的点数，第二次抛掷得到$$k$$。
对于$$k=1$$，第一次抛掷得到$$1$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$1$$或大于$$1$$的点数的概率为$$1$$，因此$$P(X=1)=\frac{1}{6}\times1+\frac{5}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{11}{36}$$。
对于$$k=2$$，第一次抛掷得到$$2$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$2$$或大于$$2$$的点数的概率为$$\frac{5}{6}$$，第一次抛掷得到大于$$2$$的点数的概率为$$\frac{4}{6}$$，第二次抛掷得到$$2$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，因此$$P(X=2)=\frac{1}{6}\times \frac{5}{6} +\frac{4}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{9}{36}$$。
对于$$k=3$$，第一次抛掷得到$$3$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$3$$或大于$$3$$的点数的概率为$$\frac{4}{6}$$，第一次抛掷得到大于$$3$$的点数的概率为$$\frac{3}{6}$$，第二次抛掷得到$$3$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，因此$$P(X=3)=\frac{1}{6}\times \frac{4}{6} +\frac{3}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{7}{36}$$。
对于$$k=4$$，第一次抛掷得到$$4$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$4$$或大于$$4$$的点数的概率为$$\frac{3}{6}$$，第一次抛掷得到大于$$4$$的点数的概率为$$\frac{2}{6}$$，第二次抛掷得到$$4$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，因此$$P(X=4)=\frac{1}{6}\times \frac{3}{6} +\frac{2}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{5}{36}$$。
对于$$k=5$$，第一次抛掷得到$$5$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$5$$或大于$$5$$的点数的概率为$$\frac{2}{6}$$，第一次抛掷得到大于$$5$$的点数的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$5$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，因此$$P(X=5)=\frac{1}{6}\times \frac{2}{6} +\frac{1}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{3}{36}$$。
对于$$k=6$$，第一次抛掷得到$$6$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，第二次抛掷得到$$6$$的概率为$$\frac{1}{6}$$，因此$$P(X=6)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{6} =\frac{1}{36}$$。