题目

已知函数=f(a)在=f(a)上可导，且满足=f(a)，则=f(a)( )A 1B -3C 3D -1

已知函数 $y=f\left(u\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上可导，且满足 $f\left(x\right)-2f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}$ ，则 $f'\left(1\right)=$ ( )

A 1

B -3

C 3

D -1

题目解答

答案

方程 $f\left(x\right)-2f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}$ 两边同时对 $x$ 求导，得 $f'\left(x\right)-2f'\left(\frac{1}{x}\right)\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{3}{x^2}$

即 $f'\left(x\right)+\frac{2}{x^2}f'\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{3}{x^2}$

令 $x=1$ ，则 $f'\left(1\right)+\frac{2}{1^2}f'\left(\frac{1}{1}\right)=-\frac{3}{1^2}$

即 $f'\left(1\right)+2f'\left(1\right)=-3$

解得 $f'\left(1\right)=-1$ ，估选D.

解析

步骤 1：对给定的方程进行求导
给定方程为$f(x)-2f(\dfrac {1}{x})=\dfrac {3}{x}$，对$x$求导，得到$f'(x)-2f'(\dfrac {1}{x})(-\dfrac {1}{{x}^{2}})=-\dfrac {3}{{x}^{2}}$。
步骤 2：化简求导后的方程
化简得到$f'(x)+\dfrac {2}{{x}^{2}}f'(\dfrac {1}{x})=-\dfrac {3}{{x}^{2}}$。
步骤 3：代入$x=1$求解$f'(1)$
将$x=1$代入上式，得到$f'(1)+\dfrac {2}{{1}^{2}}f'(\dfrac {1}{1})=-\dfrac {3}{{1}^{2}}$，即$f'(1)+2f'(1)=-3$。
步骤 4：解方程求$f'(1)$
解方程$f'(1)+2f'(1)=-3$，得到$3f'(1)=-3$，从而$f'(1)=-1$。