已知非齐次线性方程组⎧⎩⎨⎪⎪x1+x2+x3+x4=−14x1+3x2+5x3−x4=−1ax1+x2+3x3+bx4=1有3个线性无关的解。(Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解。 .

步骤 1：证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2
设：A为非齐次线性方程组的系数矩阵,X1,X2,X3是方程组的3个线性无关的解，
则：对应导出组AX=0的基础解系中解的个数不少于2，
即：4−r(A)⩾2,从而：r(A)⩽2，
又因为A的行向量是两两线性无关的，
所以：r(A)⩾2，
于是：r(A)=2.
步骤 2：求a，b的值及方程组的通解
对方程组的增广矩阵作初等行变换：
(A|β)=⎛⎝⎜14a1311531−1b−1−11⎞⎠⎟→⎛⎝⎜1001−10114−2a1−54a+b−5−134−2a⎞⎠⎟，
由r(A)=2，得出：a=2，b=−3，
代入后继续作初等行变换：得：
⎛⎝⎜1000102−10−4502−30⎞⎠⎟，
得同解方程组：
x1=2−2x3+4x4，
x2=−3+x3−5x4，
求出一个特
(2,−3,0,0)T，
AX=0的基础解系：
(−2,1,1,0)T,(4,−5,0,1)T，
得到方程组的通
(2,−3,0,0)T+c1(−2,1,1,0)T+c2(4,−5,0,1)T,c1,c2任意。