5.求不定积分 int dfrac ({sin )^2x}(1+{sin )^2x}dx.

考查要点：本题主要考查不定积分的计算技巧，特别是分式拆分、三角恒等式应用以及变量代换法的综合运用。

解题核心思路：

1. 分式拆分：将被积函数拆分为简单分式与另一积分之差，简化计算。
2. 变量代换：通过代换 $t = \tan x$，将积分转化为标准形式，利用反正切函数的积分公式求解。
3. 三角恒等式：灵活运用 $\sin^2 x$ 与 $\tan x$ 的关系，简化分母结构。

破题关键点：

• 分子重组：将分子 $\sin^2 x$ 表示为 $(1 + \sin^2 x) - 1$，拆分分式。
• 变量选择：选择 $t = \tan x$，利用其导数 $\sec^2 x$ 简化积分表达式。

步骤1：分式拆分
将被积函数拆分为两个积分之差：
$\int \frac{\sin^2 x}{1 + \sin^2 x} dx = \int \left( 1 - \frac{1}{1 + \sin^2 x} \right) dx = \int dx - \int \frac{1}{1 + \sin^2 x} dx.$

步骤2：计算第一个积分
直接积分 $\int dx$：
$\int dx = x + C_1.$

步骤3：处理第二个积分
对 $\int \frac{1}{1 + \sin^2 x} dx$ 进行变量代换：

1. 代换变量：令 $t = \tan x$，则 $dt = \sec^2 x dx = (1 + \tan^2 x) dx$，即 $dx = \frac{dt}{1 + t^2}$。
2. 表达式转换：
   $\sin^2 x = \frac{t^2}{1 + t^2}, \quad 1 + \sin^2 x = 1 + \frac{t^2}{1 + t^2} = \frac{1 + 2t^2}{1 + t^2}.$
3. 代入积分：
   $\int \frac{1}{1 + \sin^2 x} dx = \int \frac{1 + t^2}{1 + 2t^2} \cdot \frac{dt}{1 + t^2} = \int \frac{1}{1 + 2t^2} dt.$

步骤4：标准积分公式
利用 $\int \frac{1}{a^2 + u^2} du = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{u}{a} \right) + C$，令 $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$，则：
$\int \frac{1}{1 + 2t^2} dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} t) + C_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} \tan x) + C_2.$

步骤5：合并结果
将两部分积分结果合并：
$\int \frac{\sin^2 x}{1 + \sin^2 x} dx = x - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} \tan x) + C.$