下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化-|||-趋势,写出它们的极限:-|||-(5) n{(-1))^n} ;-|||-(6) dfrac {{2)^n-1}({3)^n}} -|||-(7) n-dfrac {1)(n)} ;-|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)}

考查要点：数列收敛与发散的判断，涉及极限存在性、符号交替、指数函数比较、子数列极限差异等知识点。

解题思路：

1. 符号交替且绝对值发散：若数列项符号交替且绝对值趋于无穷大，则数列发散。
2. 指数型分式比较：若分子分母均为指数函数，可通过底数大小判断极限是否为0。
3. 主导项分析：若数列由多项式与无穷小量组合而成，主导项决定发散性。
4. 子数列极限不一致：若不同子数列极限不同，则原数列发散。

第（5）题

数列：$\{ n{(-1)}^{n} \}$
分析：

• 通项为$n{(-1)}^{n}$，符号交替，绝对值为$n$。
• 当$n \to \infty$时，绝对值$n \to +\infty$，数列项在正负无穷之间震荡。
• 结论：数列无极限，发散。

第（6）题

数列：$\{ \dfrac{{2}^{n}-1}{{3}^{n}} \}$
分析：

• 拆分为$\dfrac{{2}^{n}}{{3}^{n}} - \dfrac{1}{{3}^{n}}$。
• $\dfrac{{2}^{n}}{{3}^{n}} = \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n} \to 0$（因$\dfrac{2}{3} < 1$）。
• $\dfrac{1}{{3}^{n}} \to 0$。
• 结论：$\lim_{n \to \infty} \dfrac{{2}^{n}-1}{{3}^{n}} = 0$，收敛。

第（7）题

数列：$\{ n - \dfrac{1}{n} \}$
分析：

• 当$n \to \infty$时，$n \to +\infty$，$\dfrac{1}{n} \to 0$。
• 主导项为$n$，整体趋于$+\infty$。
• 结论：数列无界，发散。

第（8）题

数列：$\{ [ {(-1)}^{n}+1] \dfrac{n+1}{n} \}$
分析：

• 当$n$为偶数时，${(-1)}^{n} = 1$，通项为$2 \cdot \dfrac{n+1}{n} \to 2$。
• 当$n$为奇数时，${(-1)}^{n} = -1$，通项为$0 \cdot \dfrac{n+1}{n} = 0$。
• 子数列极限不一致（偶数项趋近于2，奇数项恒为0），发散。