思考: 1. 设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0

外测度的定义是覆盖集合的开区间序列的体积（面积在二维中）的下确界。若能用任意小的体积覆盖集合，则其外测度为0。

1. 有理点集：平面上的有理点全体是可数集，可用可数个边长为$\varepsilon/2^n$的开矩形覆盖，总和为$\varepsilon$，故外测度为0。
2. x轴：虽然不可数，但可将其划分为可数个区间，每个区间用高度为$\varepsilon/2^n$的开矩形覆盖，总和为$2\varepsilon$，故外测度为0。

第1题

关键思路

1. 可数性：平面上的有理点集$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$是可数的，可排列为$\{q_1, q_2, \dots\}$。
2. 构造覆盖：对每个$q_n$，构造边长为$\sqrt{\varepsilon/2^n}$的开正方形覆盖它，每个正方形面积为$\varepsilon/2^n$。
3. 总和计算：总面积和为$\sum_{n=1}^\infty \varepsilon/2^n = \varepsilon$，可任意小，故外测度为0。

第2题

关键思路

1. 划分区间：将x轴划分为可数个区间$[n, n+1)$，$n \in \mathbb{Z}$。
2. 构造覆盖：对每个区间$[n, n+1)$，构造开矩形$(n-\delta, n+1+\delta) \times (-\varepsilon/2^{|n|}, \varepsilon/2^{|n|})$，其中$\delta$很小。
3. 总和计算：每个矩形面积为$1 \cdot \varepsilon/2^{|n|}$，总和为$\varepsilon \sum_{n=-\infty}^\infty 1/2^{|n|} = 2\varepsilon$，可任意小，故外测度为0。