160 求极限lim _(xarrow infty )(x)^2[ ln ((x)^2+1)-2ln x] = x]=

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及对数函数与无穷小量的处理。关键在于将复杂的表达式简化，并利用等价无穷小或泰勒展开进行近似。

解题思路：

1. 对数运算化简：利用对数的性质，将表达式中的差转化为单一对数形式。
2. 变量替换或等价无穷小：通过变量替换或泰勒展开，将复杂的对数表达式转化为易处理的形式。
3. 极限计算：结合无穷小量的阶数，确定主导项，最终求得极限值。

破题关键：

• 对数差的化简：将 $\ln(x^2+1) - 2\ln x$ 转化为 $\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)$。
• 等价无穷小替换：当 $x \to \infty$ 时，$\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right) \sim \frac{1}{x^2}$，从而简化计算。

步骤1：化简对数表达式
原式为：
$\lim _{x\rightarrow \infty }{x}^{2}\left[ \ln ({x}^{2}+1)-2\ln x \right]$
利用对数性质 $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$，可得：
$\ln(x^2+1) - 2\ln x = \ln\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right) = \ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)$

步骤2：变量替换与等价无穷小
令 $h = \frac{1}{x^2}$，当 $x \to \infty$ 时，$h \to 0$。此时原式变为：
$x^2 \cdot \ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right) = \frac{\ln(1+h)}{h}$
根据泰勒展开 $\ln(1+h) \sim h - \frac{h^2}{2} + \cdots$，当 $h \to 0$ 时，$\ln(1+h) \approx h$，因此：
$\frac{\ln(1+h)}{h} \approx \frac{h}{h} = 1$

步骤3：求极限
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{\ln(1+\frac{1}{x^2})}{\frac{1}{x^2}} \to 1$，故原式的极限为：
$\lim _{x\rightarrow \infty }{x}^{2}\left[ \ln ({x}^{2}+1)-2\ln x \right] = 1$