题目
设 y = x + e^x ，x = varphi (y)是其反函数，则 varphi' (y)mid_(y=1) = ()。A. 1 / (1 + e)B. 1 / 2C. 2D. e
设 $y = x + e^x $，$x = \varphi (y)$是其反函数，则 $\varphi' (y)\mid_{y=1}\ \ = ()$。
A. 1 / (1 + e)
B. 1 / 2
C. 2
D. e
题目解答
答案
B. 1 / 2
解析
步骤 1：求导数
首先，我们对给定的函数 $y = x + e^x$ 求导，得到 $y'$。根据导数的定义，$y' = 1 + e^x$。
步骤 2：反函数的导数
根据反函数的导数公式，如果 $y = f(x)$，则其反函数 $x = \varphi(y)$ 的导数 $\varphi'(y)$ 可以表示为 $\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}$。因此，$\varphi'(y) = \frac{1}{1 + e^x}$。
步骤 3：求 $\varphi'(y)$ 在 $y = 1$ 时的值
由于 $y = x + e^x$，当 $y = 1$ 时，我们需要找到对应的 $x$ 值。观察函数 $y = x + e^x$，当 $x = 0$ 时，$y = 0 + e^0 = 1$。因此，当 $y = 1$ 时，$x = 0$。将 $x = 0$ 代入 $\varphi'(y) = \frac{1}{1 + e^x}$，得到 $\varphi'(1) = \frac{1}{1 + e^0} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$。
首先，我们对给定的函数 $y = x + e^x$ 求导，得到 $y'$。根据导数的定义，$y' = 1 + e^x$。
步骤 2：反函数的导数
根据反函数的导数公式，如果 $y = f(x)$，则其反函数 $x = \varphi(y)$ 的导数 $\varphi'(y)$ 可以表示为 $\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}$。因此，$\varphi'(y) = \frac{1}{1 + e^x}$。
步骤 3：求 $\varphi'(y)$ 在 $y = 1$ 时的值
由于 $y = x + e^x$，当 $y = 1$ 时，我们需要找到对应的 $x$ 值。观察函数 $y = x + e^x$，当 $x = 0$ 时，$y = 0 + e^0 = 1$。因此，当 $y = 1$ 时，$x = 0$。将 $x = 0$ 代入 $\varphi'(y) = \frac{1}{1 + e^x}$，得到 $\varphi'(1) = \frac{1}{1 + e^0} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$。