3、x服从[0,2]上的均匀分布,则 (X+(X)^2)= ()-|||-(A) 4/3 (B) 2/3 C) 5/3 (D)

本题考察均匀分布的期望计算及期望的性质。

步骤1：明确均匀分布的概率密度函数

X服从$[0,2]$上的均匀分布，其概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2-0} = \frac{1}{2} & (0 \leq x \leq 2) \\0 & (\text{其他})\end{cases}$

步骤2：利用期望的线性性质**

期望的线性性质：$E(aX + EX^2 = E(X + X^2)$，因此只需分别计算$EX$和$EX^2$。

步骤3：计算$EX$

均匀分布的期望公式为$E(X) = \frac{a + b}{2}{2}$（其中$[a,b]$为分布区间），代入$a=0,b=2$：
$EX = $\frac{0 + 2}{2} = 1$ ## **步骤4：计算$EX^2$** 对于连续型随机变量，$EX^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)dx$，仅需在$[0,2]$上积分： \[ EX^2 = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{1}{2}dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 dx$
计算积分计算：
$\int_{0}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$
故：
$EX^2 = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

步骤5：计算$E(X + X^2)$

$E(X + X^2) = EX + EX^2 = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$