题目
(3)xy'-ylny=0;
(3)$xy'-ylny=0$;
题目解答
答案
将方程改写为 $xy' = y \ln y$，分离变量得：
\[
\frac{y'}{y \ln y} = \frac{1}{x}.
\]
积分两边：
\[
\int \frac{1}{y \ln y} \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx.
\]
令 $u = \ln y$，则 $du = \frac{1}{y} \, dy$，左边积分变为：
\[
\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C_1 = \ln |\ln y| + C_1.
\]
右边积分：
\[
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_2.
\]
合并常数得：
\[
\ln |\ln y| = \ln |x| + C.
\]
消去对数：
\[
|\ln y| = |x| \cdot e^C.
\]
令 $C_3 = \pm e^C$，则：
\[
\ln y = C_3 x.
\]
即通解为：
\[
\boxed{y = e^{Cx}} \quad \text{或} \quad \boxed{\ln y = Cx},
\]
其中 $C$ 为任意常数。