题目
12.设A为n阶上三角矩阵.若A是正交矩阵,证明A是对角阵.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查正交矩阵与上三角矩阵的性质，以及如何结合两者特性进行推导。
解题核心思路：
- 正交矩阵的性质：若矩阵$A$是正交矩阵，则$A^{\top}A = AA^{\top} = I$，即其转置为其逆矩阵。
- 上三角矩阵的结构：上三角矩阵的下三角部分（主对角线下方）全为零。
- 关键推导：通过分析$A^{\top}A = I$的结构，结合上三角矩阵的乘积特性，证明所有非对角线元素必须为零。
破题关键点：
- 利用转置与乘积的结构：$A^{\top}$为下三角矩阵，与上三角矩阵$A$相乘后，结果为对角矩阵。
- 非对角线元素的约束：通过逐个位置分析乘积$A^{\top}A$的非对角线元素，推导出上三角部分的非对角线元素必须为零。
步骤1：写出正交矩阵的条件
由$A$为正交矩阵，有：
$A^{\top}A = I.$
步骤2：分析$A^{\top}A$的结构
- $A$是上三角矩阵，因此$A^{\top}$是下三角矩阵。
- 下三角矩阵与上三角矩阵相乘的结果$A^{\top}A$为对角矩阵，且对角线元素为$A$的各行的模长平方。
步骤3：逐个位置分析乘积矩阵
设$A = (a_{ij})$，则$A^{\top}A$的第$i$行第$j$列元素为：
$(A^{\top}A)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ki}a_{kj}.$
根据$A^{\top}A = I$，有：
- 对角线元素：$\sum_{k=1}^{n} a_{ki}^2 = 1$（对应单位矩阵的1）。
- 非对角线元素：$\sum_{k=1}^{n} a_{ki}a_{kj} = 0$（对应单位矩阵的0）。
步骤4：利用上三角矩阵的特性
- 对于$i < j$，$A$的第$i$行第$j$列元素$a_{ij}$存在，但第$j$列在第$j$行以下均为零。
- 计算非对角线元素$(A^{\top}A)_{ij}$时，只有$a_{ij}a_{jj}$可能非零（因其他项中$a_{kj}=0$当$k > j$）。
- 由$\sum_{k=1}^{n} a_{ki}a_{kj} = 0$，得$a_{ij}a_{jj} = 0$。
- 由于$a_{jj} \neq 0$（正交矩阵对角线元素绝对值为1），故$a_{ij} = 0$。
结论：所有上三角部分的非对角线元素$a_{ij} = 0$，故$A$为对角矩阵。