题目

矩阵（）是二次型({x)_(1)}^2+4(x)_(1)(x)_(2)+({x)_(2)}^2的矩阵A({x)_(1)}^2+4(x)_(1)(x)_(2)+({x)_(2)}^2B({x)_(1)}^2+4(x)_(1)(x)_(2)+({x)_(2)}^2C({x)_(1)}^2+4(x)_(1)(x)_(2)+({x)_(2)}^2D({x)_(1)}^2+4(x)_(1)(x)_(2)+({x)_(2)}^2

矩阵（）是二次型的矩阵

A

B

C

D

题目解答

答案

对于一般二次型来说

其对应矩阵为

对于本题中二次型

有

代入中得到本题所求二次型对应矩阵为：

所以本题选择C

解析

二次型矩阵的构造是本题的核心考查点。二次型的一般形式为：
$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + \cdots + a_nx_n^2 + 2b_{12}x_1x_2 + 2b_{13}x_1x_3 + \cdots + 2b_{n-1,n}x_{n-1}x_n$
对应的对称矩阵中：

  • 对角线元素为各平方项的系数；
  • 非对角线元素为交叉项系数的一半（即 $b_{ij}$）。

本题中二次型为 $x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2$，需通过上述规则确定矩阵。

  1. 拆分二次型
    将二次型写成标准形式：
    $x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = 1x_1^2 + 2 \cdot 2x_1x_2 + 1x_2^2$
    对应系数：

    • 平方项系数：$a_1 = 1$，$a_2 = 1$；
    • 交叉项系数：$2b_{12} = 4 \Rightarrow b_{12} = 2$。

  2. 构造对称矩阵
    根据规则，矩阵为：
    $\begin{pmatrix} a_1 & b_{12} \\ b_{12} & a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

  3. 匹配选项
    选项中符合上述矩阵的为 C。