题目
从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有一件次品的概率。
从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有一件次品的概率。
题目解答
答案
从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件产品，其中恰有一件次品的概率$$p=\frac{C_5^1\cdot C_{45}^2}{C_{50}^3}$$$$=\frac{5\times 45\times 44\div 2}{50\times 49\times 48\div 6}$$$$=\frac{99}{392}\approx 0.253$$
解析
考查要点：本题主要考查组合概率的计算，涉及超几何分布的应用。关键在于正确计算符合条件的情况数与总情况数的比值。
解题核心思路：
- 确定总情况数：从50件产品中任取3件的组合数，即$C_{50}^3$。
- 确定符合条件的情况数：选取1件次品（从5件次品中选）和2件正品（从45件正品中选），即$C_5^1 \cdot C_{45}^2$。
- 概率公式：概率为$\frac{\text{符合条件的情况数}}{\text{总情况数}}$。
破题关键点：
- 区分排列与组合：抽取产品时顺序无关，需用组合数计算。
- 分步计算：次品和正品的选取需独立计算后相乘。
总情况数：从50件产品中任取3件的组合数为
$C_{50}^3 = \frac{50 \times 49 \times 48}{3 \times 2 \times 1} = 19600.$
符合条件的情况数：
- 选取1件次品：从5件次品中选1件，有
$C_5^1 = 5.$ - 选取2件正品：从45件正品中选2件，有
$C_{45}^2 = \frac{45 \times 44}{2 \times 1} = 990.$ - 组合方式总数：次品和正品的选取方式相乘，即
$C_5^1 \cdot C_{45}^2 = 5 \times 990 = 4950.$
概率计算：
$p = \frac{4950}{19600} = \frac{99}{392} \approx 0.253.$